双曲线的几何性质 一、单选题 1．双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 2．等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则其顶点到渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 4．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（ ） A．2 B． C．4 D． 5．已知双曲线，过点作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（ ） A．3条 B．4条 C．1条 D．2条 6．已知双曲线的左焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），，且的面积为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 7．P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．9 8．点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（ ） A． B． C．2 D．5 9．已知A，B是双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（ ） A．k1＋k2 B．|k1－k2| C．k1k2 D． 10．如图为陕西博物馆收藏的国宝———唐 金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ） A．2π B．3π C．2π D．4π 二、填空题 11．双曲线的渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为_____． 12．经过双曲线的左焦点F1作倾斜角为的直线AB，分别交双曲线的左、右支为点A、B．求弦长|AB|=_____ 13．已知双曲线与双曲线（其中，），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为，连接它们的焦点构成的四边形的面积为，则的最大值为_____． 14．如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点,双曲线的离心率为_____． 三、解答题 15．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离. 16．已知平面内两个定点，，过动点M作直线的垂线，垂足为N，且. （1）求点M的轨迹E的方程； （2）若直线与曲线E有且仅有一个交点，求实数k的取值范围. 17．已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 18．已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点. （1）求双曲线C：方程； （2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由. 参考答案 1．D 在双曲线中，，，故双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 2．B 由题意知，焦点在x轴上，设等轴双曲线方程为，∴，∴，故双曲线方程为. 故选：B. 3．B 由双曲线的方程得， 双曲线的虚轴长是实轴长的倍，，可得， 则双曲线的顶点为，双曲线的渐近线方程为， 不妨取渐近线，即， 则顶点到渐近线的距离. 故选：B. 4．C 由题意，双曲线，可得，则， 因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限， 由双曲线的定义可得， 又因为，可得，即， 又由， 可得，解得， 所以的面积为. 故选：C. 5．D 由双曲线方程可知其顶点坐标为 ①当直线斜率不存在时，直线方程为：，满足与曲线只有一个公共点； ②当直线斜率存在 ... ...
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