专题强化练4 圆锥曲线中的范围、最值问题-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第二章（Word含答案）

专题强化练4　圆锥曲线中的范围、最值问题 一、选择题 1.(2019安徽淮北一中高二期末,★★)已知点A(0,-2),B(0,2)及抛物线x2=4y,若抛物线上的一点P满足|PA|=λ|PB|,则λ的最大值为(　　) A.3 B.2 C. D. 2.(2019河南安阳高三调研,★★★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点N的坐标为.若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|+|MN|>4b,则双曲线C的离心率的取值范围为(　　) A. B.(,) C.∪(,+∞) D.(1,)∪(,+∞) 3.(★★★)已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一点,则||+x的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题 4.(2018山西质检,★★)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点,若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为　　　　. 三、解答题 5.(2018海南联考,★★★)已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心与C2的顶点均为原点O,从C1,C2上分别取两个点,将其坐标记录于下表中: x 3 -2 4 y -2 0 -4 (1)求C1,C2的标准方程; (2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C1交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过定点G,求实数k的取值范围. 6.(2018天津静海第一中学月考,★★★)设椭圆C:+=1(a>b>0),定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=,若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合,且椭圆C的短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形. (1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程; (2)过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l,与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点. ①证明:∠AOB的大小为定值; ②连接PO并延长,交“相关圆”E于另一点Q,求△ABQ的面积的取值范围. 答案全解全析 一、选择题 1.C　设P(x,y),则x2=4y, 由|PA|=λ|PB|,得λ2====1+. ∵y>0,∴y+≥4,∴λ2=1+≤3,当且仅当y=2时取等号. ∴λ的最大值为. 2.C　由已知可得|MF2|-|MF1|=2a, 若|MF2|+|MN|>4b, 则|MF1|+|MN|+2a>4b, 如图所示,当点M位于H点时,|MF1|+|MN|取得最小值,为, 故+2a>4b,即3b2+4a2>8ab, ∴3b2-8ab+4a2>0,即(2a-b)(2a-3b)>0, ∴2a>3b或2a9b2或4a25a2,∴1<<或>,∴双曲线C的离心率的取值范围为∪(,+∞). 3.C　设抛物线y2=4x的焦点为F,则F(1,0),准线方程为x=-1, 圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心为C(-2,4),半径r=1, P到抛物线准线的距离d=|PF|,|FC|==5, 根据抛物线的定义,可得点P到y轴的距离为d-1,即x=d-1,则|PQ|+x=|PQ|+|PF|-1. 如图,当C,Q,P,F四点共线时,|PQ|+x取得最小值, 所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3,故选C. 二、填空题 4.答案　 解析　直线x-y+1=0与双曲线x2-y2=1的一条渐近线x-y=0平行,这两条平行线之间的距离为,又P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点,点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则c≤,即实数c的最大值为. 三、解答题 5.解析　(1)设抛物线C2的方程为y2=2px(p≠0),则有=2p(x≠0), 据此验证4个点,知点(3,-2),(4,-4)在抛物线C2上,此时2p=4, 所以C2的方程为y2=4x. 设椭圆C1的方程为+=1(a>b>0),把(-2,0),分别代入得解得 所以C1的方程为+=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),将y=kx+m(k≠0)代入椭圆方程, 消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 所以Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0, 即m2<4k2+3.① 由根与系数的关系,得x1+x2=-, 则y1+y2=, 所以线段MN的中点P的坐标为. 易知线段MN的垂直平分线l'的方程为y=-, 由点P在直线l'上, 得=-, 即4k2+8km+3=0,所以m=-(4k2+3).② 由①②得<4k2+3,解得k2>, 即k<-或k>, 所以实数k的取值范围是∪. 6.解析　(1)因为抛物线y2=4x的焦点(1,0)与椭圆C的一个焦点重合,所以c=1. 又因为椭圆C的短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以b=c=1,a2=b2+c2=2. 故椭圆C的方程为+y2=1, “相关圆”E的方程为x2+y2=. (2)①证明:当直线 ... ...