专题强化练5 定值、定点以及探索性问题-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第二章（Word含答案）

专题强化练5　定值、定点以及探索性问题 解答题 1.(2019江苏南通适应性考试,★★)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A,B两点,点B在x轴的上方,且横坐标为4. (1)求抛物线C的标准方程; (2)设点P为抛物线C上异于A,B的点,直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E,G两点,x轴与准线的交点为H,求证:|HG|·|HE|为定值. 2.(2019福建泉州泉港高二期末,★★★)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四个点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l:y=kx+m(m≠1)与椭圆C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,试说明直线l必过定点,并求出该定点的坐标. 3.(2019北京房山二模,★★★)已知抛物线x2=2py(p>0)过点(2,1). (1)求抛物线的方程和焦点坐标; (2)过点A(0,-4)的直线l与抛物线交于两点M,N,点M关于y轴的对称点为T,试判断直线TN是否过定点,并加以证明. 4.(2018江西南昌模拟,★★★)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,且过点,直线l与椭圆交于A,B两点(A,B两点不是左、右顶点),当直线l的斜率为时,弦AB的中点D在直线y=-x上. (1)求椭圆C的方程; (2)若以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点,判断直线l是否经过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 答案全解全析 解答题 1.解析　(1)由题意得F. 因为点B的横坐标为4,且B在x轴的上方, 所以B(4,). 因为直线AB的斜率为, 所以=,整理得p+3·-8=0, 即(-)(+4)=0,又p>0,则p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)证明:易得B(4,4),抛物线的准线方程为x=-1, 直线l的方程为y=(x-1), 由解得x=或x=4, 所以A. 设P,由题意得n≠±1且n≠±4, 所以直线PA的方程为y+1=.令x=-1,得y=-, 则|HE|=, 同理可得|HG|=, 所以|HG|·|HE|=·=4. 故|HG|·|HE|为定值. 2.解析　(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故P3,P4两点在椭圆C上, 所以+=1. 又+>+,所以C不经过点P1, 所以点P2在C上, 因此解得 故椭圆C的方程为+y2=1. (2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2, 将y=kx+m与+y2=1联立,消去y得, (4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=. 又k1+k2=+ =+ ==-1, 故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即(2k+1)·+(m-1)·=0, 解得k=-. 故直线l的方程为y=-x+m, 即y+1=-(x-2), 所以直线l过定点(2,-1). 3.解析　(1)因为抛物线x2=2py(p>0)过点(2,1),所以2p=4, 所以抛物线的方程为x2=4y,焦点坐标为(0,1). (2)直线TN过定点.证明如下:设直线l的方程为y=kx-4, 由消去y,并整理,得x2-4kx+16=0,则Δ=16k2-64>0,即|k|>2. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则T(-x1,y1), x1+x2=4k,x1x2=16. ∵直线TN的方程为y-y2=·(x-x2), ∴y=·(x-x2)+y2 =·(x-x2)+ =x-+ =x+, 即y=x+4, ∴直线TN恒过定点(0,4). 4.解析　(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),A(x1,y1),B(x2,y2). 因为直线l的斜率为时,弦AB的中点D在直线y=-x上,所以=,=-, 由得=-,所以a2=4b2.① 因为椭圆过点,所以+=1.② 由①②得a=2,b=1, 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)易得椭圆的右顶点为A2(2,0),AA2⊥BA2. ①当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为x=x0(-2