中小学教育资源及组卷应用平台 4.3.1.2等比数列的性质及应用 要点一 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*) (2)若p＋q＝s＋t(p、q、s、t∈N*)，则ap·aq＝ 【重点总结】 (1)在已知等比数列{an}中任一项am及公比q的前提下，可以利用an＝amqn－m求等比数列中任意项an； (2)已知等比数列{an}中的am和an两项，就可以使用＝qn－m求公比，其中m可大于n，也可小于n. 要点二 等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当1<1时，等比数列{an}为摆动数列． 【重点总结】 由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替． 要点三 等比数列的其它性质 若{an}是公比为q的等比数列，则 (1)若m，p，n(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，ap，an成等比数列； (2)数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (3)若{bn}是公比为p的等比数列，则{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk＋1. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列． 【重点总结】 若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{lg an}是公差为lg q的等差数列； 若数列{bn}是等差数列，公差为d ，则数列{cbn}是以cd(c>0且c≠1)为公比的等比数列． 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q>1时，{an}为递增数列．( ) (3)当q＝1时，{an}为常数列．( ) (4)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）×（3）√（4）× 2．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】D 【解析】∵q<0，a1>0，∴所有奇数项为正、偶数项为负，故成摆动数列，选D. 3．(多选题)若数列{an}为等比数列，则下列式子一定成立的是( ) A．a2＋a5＝a1＋a6 B．a1a9＝a C．a1a9＝a3a7 D．a1a2a7＝a4a6 【答案】BC 【解析】根据等比数列的性质知BC正确． 4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为_____． 【答案】25 【解析】∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝25. 题型一 等比数列性质的应用 【例1】已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5； (2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 【解析】(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝. (2)由等比中项，化简条件得 a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5＝5. (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10. 【方法归纳】 有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项“下标”的指导作用． 【跟踪训练1】 (1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7. (2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q. 【解析】(1)法一：相除得q8＝9. 所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9. 法二：因为a ... ...
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