专题34：导数的高级应用：利用导数证明不等式（培优卷） 命题变化与趋势 1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大 2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题 3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 利用导数研究函数单调性的方法： （1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）； （2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性. 题型分析： 一、利用导数证明不等式 1．（2021·浙江·模拟预测）已知数列满足，给出以下结论，正确的个数是（ ） ①；②；③存在无穷多个,使；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】 归纳猜想可说明①正确③错误，利用放缩法可证明，从而，可证明②正确，由得，可知，累加法可证明④正确. 【详解】 ，,，则单调递增且大于0， 所以单调递增，所以 ，即故①正确； 令，则，所以在上单调递增，且当且仅当时，，所以，即.因为，且，，故②正确； ，，，由归纳法可知，，故不存在无穷多个,使，故③错误； 由得，，累加可得：可知④正确. 故选：B. 2．（2021·浙江省富阳中学高三开学考试）已知，函数，则下列选项正确的是（ ） A．存在使 B．存在使 C．对任意，都有 D．对任意，都有 【答案】B 【分析】 对于A、C： 记，，则 利用导数分别判断出的单调性，证明出，，即可得到从而判断A、C. 对B：特殊值，代入验证成立； 对D：取特殊值，代入验证不成立； 【详解】 对于A、C： 记，，则 ，所以在上单增，当时，，即，即 同理可证：在上单减，所以当时都有，即. 又，所以.故A、C错误. 对于B：取，所以， 则有 . 故B正确； 对于D：取，则有. 故D错误. 故选：B 3．（2021·四川·眉山市彭山区第一中学高三开学考试（理））已知函数有两个零点、，则下列命题正确的个数为（ ） （1）的取值范围为；（2）；（3）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分析可知函数和直线的图象有两个交点，数形结合可判断（1）的正误；结合图象可得，可判断（2）的正误；令，，则，可得，，可得出，通过构造函数，，结合这两个函数的单调性可判断（3）的正误. 【详解】 由，可得， 令，其中，则，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数的极大值为，作出函数和直线的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故实数的取值范围是，（1）错； 因为函数在上为增函数，在上为减函数， 且函数和直线图象的两个交点的横坐标分别为、， 则有，所以，，即，故（2）对； 由题意可得， 令，，则，可得，， 所以，，整理可得， 构造函数，其中，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 构造函数， 则， 所以，函数在上为减函数， 因为，则， 所以，， 因为且函数在上为增函数， 所以，，即，即，③对. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式 ... ...
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