专题20：导数的几何意义01 高考中，关于导数的几何意义问题，主要以选择题或填空题形式出现，难度主要以中低档题出现，偶尔也会有较难试题，此时导数的几何意义仅仅作为中间步骤而已。 导数的几何意义常考题型包括：（1）直接求切线的斜率；（2）求切线方程或者法线方程；（3）求切点的坐标；（4）求参数的值；（5）曲线的公切线问题；（6）与其他知识相关的综合性问题。 导数的几何意义是高考的热点内容之一，多数是选择填空，有时解答题中也有涉及，函数在某点处的导数的几何意义就是在曲线上该点处切线的斜率，用导数求切线或斜率的一个显著特点是要知道切点，在不知道切点时要设出切点，这是用导数解决切线问题的一个非常有用的原则。 本文核心内容： "在"与“过”，求曲线f（x）的切线方程 利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围 导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积. 题型分析： 一、"在"与“过”，求曲线f（x）的切线方程 1．（2021·四川遂宁·模拟预测（文））与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ） A．-8 B．-3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】 由题可得切线斜率为2，分别设出切点，利用斜率求出切点即可得出. 【详解】 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2， 设直线与相切于， 因为，所以，解得，故直线与相切于， 设直线与相切于， 因为，则，解得，则， 所以直线的方程为，即， 在直线上，则，解得. 故选：A. 2．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三期中）已知（为自然对数的底数），，则与的公切线条数（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】 设直线l是与的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案. 【详解】 根据题意，设直线l与相切于点 ，与相切于点， 对于，，则 则直线l的方程为 ，即， 对于，，则 则直线l的方程为，即， 直线l是与的公切线，则 ， 可得，即或 则切线方程为： 或,切线有两条. 故选：C 3．（2021·四川·成都七中高三期中（理））如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 把曲线和曲线有且仅有两条公切线，转化为有且仅有两解. 记，利用导数研究单调性和极值，建立不等式，即可解得. 【详解】 曲线上一点，，切线方程为：. 曲线上一点，，切线方程为：. 若直线与两条曲线都相切，则有，消去得：. 因为曲线和曲线有且仅有两条公切线， 所以有且仅有两解. 记，则. 令，得，所以在上单增；，得，所以在上单增. 所以. 又有，解得：（舍）或. 当，则；当，则； 而，所以要使有且仅有两解， 只需，解得：. 故选：B 【点睛】 导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 4．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知命题“，”，命题“，”，若为真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分别求出p、q为真时的取值范围，再根据为真命题判断出p真q假，即可求得. 【详解】 若命题“，”，为真命题，则有. 命题“，”，为真命题，令，只需两函数相交. 设与相切于，则有，解得：， 即过原点的切线为. 要使相交，只需. 因为为真命题，所以p真q假，所 ... ...
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