专题 圆锥曲线中的探究性问题 近年来，在圆锥曲线考查的题型中经常会出现探究性问题.探究性问题是一种开放性问题，是指命题中缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型.圆锥曲线的考题主要是结论探究的开放性问题，有探究位置关系的，有探究点是否存在直线是否存在圆是否存在的，有探究圆是否过定点直线是否过定点的，等等，有结论存在和结论不存在两种情形.这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时，能很好地考查学生的运算求解、推理论证等数学能力，对学生的综合能力要求较高 模块1整理方法、提升能力 圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略有2种:一是先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立;另一种方法是在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证 解决此类问题要还要做好两个方面：一是转化，即把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是计算，直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往需要联立直线方程与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系进行化简，然后根据代数式的结构特征采用相应的方法求解，计算准确是关键. 熟练掌握椭圆的定义 几何图形 标准方程及简单几何性质(范围 对称性 顶点 离心率). 圆锥曲线中定点问题的常见解法 （1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 点睛：本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力；对于圆锥曲线中的定值定点问题，一般是可以先有特殊位置得到定点，再证明一般情况．或者由特殊情况推出一般情况．证明过定点问题，一般是求谁设谁，或者像这个题一样求出交点坐标，用这两个点表示出直线方程． 直线与椭圆相交问题求解策略： （1）解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去(或)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解； （2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 经典例题分析 1．（2020·江苏·辅仁高中）已知椭圆，，，，若的面积为1，且过右焦点垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 2．（2021·广东清远·）已知椭圆：的离心率为，且椭圆上的点到右焦点的距离最长为. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于两点，的中垂线与轴交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 3．（2018·全国南宁·（理））已知椭圆的右焦点为，过且与轴垂直的弦长为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过作直线与椭圆交于两点，问：在轴上是否存在点，使为定值，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由. 4．（2019·河南·信阳高中（理））已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2019·甘肃·天水市第一中学（理））已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为， （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 6．（2019· ... ...
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