初中数学北师大九年级下学期第三章 圆：与圆有关的三角形相似几种模型（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 初中数学北师大九年级下学期第三章圆：不得不说的与圆有关的三角形相似几种模型 圆几乎是中考数学必考的压轴题型之一，因为与圆结合的图形形状有很多，比如三角形、四边形等基本图形。可见其综合性、灵活性非常高，值得我们深入细致的去学习和研究。今天我们再以三角形与圆相结合的题型，来进一步学习和探讨圆中有关三角形相似的问题。 我们知道在圆中随便相连就可以形成很多三角形，而圆是轴对称图形，有无数条对称轴，这就造成了圆的一些特殊性质，比如： 直径所对的圆周角为直角； 平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦； 圆的切线与过该点的半径垂直等。 因此，圆中有非常多的直角三角形，且圆中三角形的相似一般是直角三角形的相似。 这些相似包括：A字相似（平行、不平行）；8字相似（平行、不平行）、摄影相似、母子相似等。 只有熟悉并熟练掌握了圆中有关三角形的相似模型，才能在考试中快速制胜！ 一、A字相似：包含平行与不平行两种 A字相似在圆中通常表现为直角三角形相似的形式： 例1、如图，在RT△OAB中，∠OAB=90 ，以OA为半径的⊙O交BO于点C，交BO延长线于点D。在⊙O上取一点E，且弧AE = 弧AC，延长DE与BA交于点F 求证：△BDF是直角三角形 连接AC，AC=，OC=2BC，求AF的长。 解：（1）证明：∵弧AE = 弧AC ∴∠BDE=∠BOE=∠BOA 又∠OAB=90 ，∠B = ∠B ∴∠F = ∠OAB=90 即△BDF是直角三角形 （2）连接EC，交OA于点H 那么有OA⊥EC于点H ∴△OHC ∽ △OAB 设AH = a ，圆半径为r，那么有 ∴OH =2a 3a = r 利用勾股定理得： 即； 解得a= ∴AF = EH = CH = 例2、ABCD为圆O的内接四边形，BA、CD的延长线交于E点，求证：△EAD ∽△ECB. 证明：∵∠EAD + ∠DAB =180 ∠C + ∠DAB =180 ∴∠C = ∠EAD 又∠E = ∠E ∴△EAD ∽△ECB 二、八字相似：包含平行与不平行（蝴蝶型）两种 例3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：△BCF∽△DPF； （2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径． 解：（1）证明：∵∠1=∠D又∵∠C=∠P ∴△BCF∽△DPF； （2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90° 又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=， ∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5． 例4、如图，在中，是高，的外接圆直径交边于点，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的是_____．（只填写序号） 答案：③④ 母子相似 母子相似在圆中通常表现为摄影相似 例5、如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，BC＝BD，连接CD交⊙O于点E，∠BCD＝∠DBE． （1）求证：BD是⊙O的切线． （2）过点E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE＝2，EG＝3，求BG的长． 解：（1）证明：如图1，连接AE，则∠A＝∠C， ∵AB是直径，∴∠AEB＝90°， ∴∠A+∠ABE＝90°， ∵∠C＝∠DBE， ∴∠ABE+∠DBE＝90°，即∠ABD＝90°， ∴BD是⊙O的切线 （2）解：如图2，延长EF交⊙O于H， ∵EF⊥AB，AB是直径， ∴，∴∠ECB＝∠BEH， ∵∠EBC＝∠GBE，∴△EBC∽△GBE， ∴， ∵BC＝BD，∴∠D＝∠C， ∵∠C＝∠DBE，∴∠D＝∠DBE， ∴BE＝DE＝2， 又∠AFE＝∠ABD＝90°， ∴BD∥EF，∴∠D＝∠CEF， ∴∠C＝∠CEF，∴CG＝GE＝3， ∴BC＝BG+CG＝BG+3， ∴， ∴BG＝﹣8（舍）或BG＝5， 即BG的长为5． 例6、如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）． 解：（1）证明：连接OE，∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC， ∴∠BGF=∠C=90°，∴FG∥AC，∴∠OFG=∠A， ∴∠OFE=∠OFG， ∴∠OFE=∠EFG，∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF ... ...