2021-2022学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物线的几何性质（提升练）（原卷 解析）

第三章 圆锥曲线 3.3.2抛物线的几何性质(提升练） 一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】即，所以其焦点在y轴正半轴，坐标为，故选:D. 2．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点若，则线段的中点到轴的距离为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线方程，得其准线方程为，设，， 由抛物线的性质得，，中点的横坐标为， 线段的中点到轴的距离为．故选:B． 3．已知抛物线C：的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点做抛物线准线的垂线，垂足为， ， 在中，， . 故选:B. 4．若点是抛物线上一点，且点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，则的中点到轴距离等于（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】抛物线的准线方程为，， 由抛物线的定义，得点到焦点的距离等于点到准线的距离， 则，解得． 所以的中点的横坐标为，所以的中点到轴距离等于．故选:B． 5．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列选项错误的是（ ） A. 的准线方程为 B. 线段长度的最小值为4 C. D. 【答案】A 【解析】焦点F到准线的距离为p=2，所以抛物线C的焦点为(1，0)， 准线方程为x=－1，则选项A错误； 当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B正确； 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x=my+1，联立x=my+1，y2＝2px ， 消去y可得x2－(4m2+2)x+1=0，消去x可得y2－4my－4=0， 所以x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m， ， 当时成立， 则选项C正确； 又x1x2=1，y1y2=－4，所以＝x1x2+y1y2=－3，则选项D正确；故选：A 二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分） 6．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若AF＝4，则下列结论中正确的是(　　) A. 焦点坐标为(2，0) B. 准线方程为x＝－1 C. 线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为3 D. 点A的坐标为(3，±2) 【答案】BCD 【解析】由题意易知F(1，0)，准线方程为x＝－1，点F到准线的距离为2，点A到准线的距离为AF＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为＝3，所以点A的坐标为(3，±2)．故选：BCD. 7．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点 Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是(　　) A．x1x2＝1　 B．kPQ＝－ C．PQ＝　 D．l1与l2之间的距离为4 【答案】ABC 【解析】由抛物线的光学性质可知直线PQ过焦点F(1,0)，所以x1x2＝＝1，故A正确．由题意可得点P的坐标为，点Q的坐标为(4，－4)，所以kPQ＝＝－，故B正确．由抛物线的定义可知PQ＝x1＋x2＋p＝＋4＋2＝，故C正确．因为l1与l2平行，所以l1与l2之间的距离d＝|y1－y2|＝5，故D错误 故选：ABC 8．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为等腰直角三角形 C. 直线AB的斜率为 D. 的面积为4 【答案】AC 【解析】过点向准线作垂线，垂足为，，设， 如下图所示： A．因为，所以， 又因为，所以，所以平分， 同理可知平分，所以，故结论正确； B．假设为等腰直角三角形，所以， 所以四点共圆且圆的半径为， 又因为，所以， 所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误； C．设直线的方程为，所以，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确； D．取，由上可知 ... ...