5.4 三角函数的图象与性质

中小学教育资源及组卷应用平台 三角函数图像与性质 知识点1 正弦函数的图像与性质 研究的图像（五点法作图）→ 1、利用五个关键点作图 2、利用诱导公式，函数于的图像完全一致，因此将的图像不断的进行向左，向右平移个单位，可以得到的图像。 正弦函数性质 定义域： （2）值域： 最大值为1，最小值为 （3）奇偶性：奇函数 （4）单调区间：在单调递增 在单调递减 对称轴： 对称中心： （7）最小正周期 知识点2 余弦函数的额图像与性质 ，利用诱导公式，由向左平移个图像得到 余弦函数的五个关键点 余弦函数的性质 （1）定义域： （2）值域： 最大值为1，最小值为 （3）奇偶性：偶函数 （4）单调区间：在单调递增 在单调递减 （5）对称轴： （6）对称中心： （7）最小正周期 知识点3 正切函数的图像和性质 正切函数性质 周期性： 利用诱导公式 奇偶性：奇函 定义域 （4）值域：，无最值 单调区间： （6）对称中心： （7）无对称轴2、正切函数图像 例1。（1）已知函数． （1）求的最小正周期，对称轴和对称中心； （2）求的单调递增区间和单调递减区间． （3）当，求值域． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴为；（2）单调递增区间为，单调递减区间为；（3）. 【详解】（1）∴， 令，则， 故最小正周期为，对称轴为. （2）∵， ∴，∵， ∴，∴的单调递增区间为， 的单调递减区间为. （3）∵，∴， ∴，∴的值域为. （2）．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．g（x）的图象关于直线对称 B．g（x）的图象关于点对称 C．g（x）在区间上单调递增 D．g（x）在区间上有两个零点 【答案】AC【详解】 A选项，，取到最大值，A选项说法正确； B选项，的图象为向上平移1个单位， 故对称中心的纵坐标为1，B选项说法错误；C选项，当时，， 又在上单调递增，所以单调递增，C选项说法正确； D选项，令，得， 即，故在区间上没有零点，D选项说法错误． 故选：AC． 举一反三： 【变式1】函数的定义域为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】C【解析】由，得，． 【变式2】函数的最小正周期为　　 A． B． C． D． 【答案】C【解析】：函数的最小正周期为 【变式3】函数的单调递增区间是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】B【解析】：由 即，， 故函数的单调性增区间为，， 【变式4】设函数，则下列结论错误的是　　 A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在，单调递减 【答案】D【解析】．函数的周期为，当时，周期，故正确， ．当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故正确; 当时，，则的一个零点为，故正确 ．当时，，此时函数不是单调函数，故错误， 例题2．函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】 由解析式知：定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，排除B、D， 当时，，，可得，可排除C； 举一反三： 【变式1】．函数的部分图象大致形状是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】 定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D；当时，令可得或，所以时，两个相邻的零点为和， 当时，，，， 【变式2】．函数的部分图像可能是（ ） A．B． C．D． 【答案】A【详解】 ，为偶函数，排除BD， 又，排除C． 例题3．已知函数的部分图象如图所示，若在上有2个零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】【详解】由图可得，解得， ，所以，即，∴， 由五点作图法可得：，即，∴， 令，得或， 解得或，∴函数的零点为，，， 因为在上有2个零点，∴实数的取值范围是， 举一反三： 【变式1】．若函数（）图象的一条对称轴是，则的最小值为_____． 【解析】由题意得 ，因为 ,所以的最小值为 【变式2】．已知函数图象的一个对称中心为，则_____. 【答案】或 【 ... ...