等差与等比数列综合 一、单选题 1.（2022·全国·高三专题练习）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（ ） A． B． C． D．58 【详解】设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，∵，，依次成等比数列，，∴有，即，整理得， 因为，所以，，因此，故选：A. 2.（2019·云南曲靖·二模（文））已知各项均为正数的等比数列满足成等差数列，若存在两项，使得，则的最小值为 A．18 B． C． D．3 【详解】由，，成等差数列，可得，∴，而，∴. ∵，∴，∴， ∴ 当且仅当即，时，等号成立.故选：D 3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}是等比数列，若， 则的最小值为（ ） A． B．1 C．2 D．3 【详解】由已知得，数列{an}的公比满足，解得，，，，故数列是以2为首项，公比为的等比数列， ,故选：C. 4．（2020·浙江衢州·高三学业考试）对于无穷数列，给出下列命题： ①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列． ②若等差数列满足，则数列是常数列． ③若等比数列满足，则数列是常数列． ④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列． 其中正确的命题个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】①：若数列既是等差数列又是等比数列，若，则，故，而，所以数列为常数列且，正确； ②：等差数列为无穷数列，若公差不为0，则要么递增要么递减，即无上界，要使等差数列满足，则数列是常数列，正确； ③：若等比数列满足，如，所以数列不一定是常数列，错误； ④：若各项为正数的等比数列满足，即，可得，， 若，则无上界，故，进而数列是常数列，正确．故选：C． 5．（2021·全国高三专题练习）已知等比数列的公比，等差数列的首项＝12，若且，则以下结论正确的有（ ） A． B． C． D． 【解析】数列{an}是公比q为的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列， 则，，∴a9 a10＝＜0，故A正确；∵a1正负不确定，故B错误； ∵a10正负不确定，∴由a10＞b10，不能求得b10的符号，故C错误； 由a9＞b9且a10＞b10，则＞12+8d，＞12+9d， 可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，即有b9＞b10，故D错误.故选：A 6.(2020届北京市东城区高三一模线上统练）数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则（ ） A． B． C． D．与大小不确定 【详解】由等差数列性质知：；由等比数列性质知：， ，（当且仅当时取等号）， 又，，， ，，即.故选：. 7．（2021·浙江）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上， 而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上， 如图所示当时，如下图所示， 当公差时，如下图所示， 如图可知当时，，，，.故选：D 8．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，，，（ ） A．存在， B．存在，使得是等差数列 C．存在， D．存在，使得是等比数列 【详解】由，即，则， 两式相减，可得，可得， 即恒成立，所以数列为常数列， 因为又由，，可得，则，所以，即， 因为，可得，可判定A、C不正确； 由，，可得， 假设B成立，则成等差数列， 则，此时无解，所以B不正确； 对于D中，假设，所以， 由，解得，所以存在使得是等比数列.故选：D. 二、填空题 9．（2021 西湖区校级模拟）设公比不为1的等比数列满足，且，，成等差数列，则公比 ，数列的前4项的和为_____． 【解答】在公比不为1的等比数列，由，得，． 又，，成等差数列，，即，，解得． ．则．故答案为：；． 10.(江苏省南通市2020届高三下学期5月联考)已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则的值是_____. 【详解】 ... ...
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