数列专题09 数列求和（奇偶项讨论）-【解题思路培养】2022年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（全国通用版）

中小学教育资源及组卷应用平台 数列 专题九：数列求和（奇偶项讨论） 一 必备秘籍 有关数列奇偶项问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项 项数 公差（比）等.本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决. 二 例题讲解 1. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质得出运用通项公式求解即可． （2）由（1）可得.对n分类讨论“裂项相消求和”即可得出. 【详解】（1）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列． ∴Sn＝na1+n（n﹣1） （2a1+2）2＝a1（4a1+12），a1＝1，∴an＝2n﹣1； （2）∵由（1）可得， 当n为偶数时，Tn＝ ． 当n为奇数时， ． ． 【点睛】本题考查了等差数列等比数列的定义，性质，公式，分类讨论思想，裂项相消求和，属于中档题． 感悟升华（核心秘籍） 此类型难度较大；在讨论时候特别注意分清楚为奇数；为偶数时最后一项到底加到哪里停止； 三 实战练习 （2021·全国高三专题练习） 2. 已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可； (Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可. 【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q. 由，，可得d=1. 从而的通项公式为. 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得， 故，， 从而， 所以. (Ⅲ)当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：. 因此，. 所以，数列的前2n项和为. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题. （2021·河西·天津市新华中学） 3. 已知为等差数列，为等比数列，，，. （1）分别求数列和的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， （i）求证； （ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式，结合题中所给的条件，列出等量关系式，求得首项、公差和公比，得到数列的通项公式； （2）（i）根据题意，求得，之后利用作差比较法求得结果； （ii）利用分组求和法和错位相减法求得数列的前项和. 【详解】（1）为等差数列，，所以， ，所以，即， 所以； 为等比数列，， 因为，所以，解得， 所以； （2）（i）， ， 所以； （ii）， 所以， 设的前项中，奇数项和为，偶数项和为， ， ， ， 两式相减得， 所以， 所以数列的前项和为. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据等差数列和等比数列的通项公式求相关量，之后确定其通项公式； （2）利用等差数列公差的相关公式求得，之后利用作差比较法求得结果； （3）利用分组求和法和错位相减法对数列求和. （2021·辽宁高三月考） 4. 已知等差数列中，. （1）求； （2）设，求的前项和 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得，所以两式相减 ... ...