数列周期性 题型一、型 例1.已知数列满足：，，，为数列的前项和，求 解：，，，可得，，，，，，，可得数列为周期6的数列， 且，则． 变式1.（2021春 瑞安市校级期中）已知数列中，，，求数列的前2021项和. 【解答】，，，，解得， 同理可得，；；； ；； 数列以6为周期，且，又， ， 作业1.已知数列满足，，，求 解：，，，可得，， ，，，， 可得数列是周期为6的数列， 则． 题型二、型 例2.已知数列满足，，，则的值等于 【解析】数列满足，，，，，， ，，，，，， 数列是周期为6的周期数列，，． 变式2.若数列满足，，且，求. 解：，，且， ，，，，，， 数列是周期为6的周期数列，， 作业2.（2021 宝鸡二模）已知数列满足，，，，求. 【解答】数列满足，，，，，， ，，，，，， 数列是周期为6的周期数列，，． 题型三、型 例3.已知数列满足条件：，，则对任意正整数，的概率为 ． 【解析】由，，得，，， 易见是周期为3的数列，且，故的概率为． 变式3.在数列中，，，求. 解：数列中，，，所以， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 故数列的周期为3，所以， 作业3.（2021秋 柯城区校级期中）设数列. 【解答】数列满足，，，，， 数列是以3为周期的周期数列，且，，． 题型四、型 例4.数列满足，，其前项积为，求. 解：由，得即，所以， 又，则；；；，，所以是以4为周期的周期数列，且，．所以． 变式4.数列满足，，其前项的积为，求. 【解析】由，，可得，则，， ，，，， 可得数列是周期为4的数列，且，而，则， 题型五、三角函数型 例5.（2021秋 上海期中）设，，则在，，，中有___个正数． 【解答】由于的周期，由正弦函数性质可知，，，，，，，，，，，且，但是单调递减， ，，都为负数，但是，，，， ，，，中都为正，而，，，都为正， 同理，，，都为正，，，，，，都为正， 变式5.（2021秋 江西月考）已知函数（其中的图象经过点，令，则 A．2021 B． C．6057 D． 【解答】由函数的图象经过点， 则f(3)，所以，结合，可得， ，所以，，， 所以，所以， 作业5.已知数列的通项公式为，求. 解：数列的通项公式为，且的周期为， 故 ， 又因为，. 六、其他型 1.（2021 浙江模拟）十三世纪意大利数学家列昂那多斐波那契从兔子繁殖中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，若为常数），则的值为 A． B． C． D． 【解答】因为，，，所以数列的前2021项和为 ．故选：． 2.（2021春 包头期末）把等差数列1，3，5，7，9，依次分组，按第一个括号一个数，第二个括号二个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，循环分为（1），，，9，，，，，21，，，，则第11个括号内的各数之和为 A．99 B．37 C．135 D．80 【解答】根据数据的结构，（1），，，9，，，，21，，，，，33，，，，故第11个括号内的数为39和41，故和为．故选：． 3.（2021 黄冈模拟）已知数列满足，，．则该数列前10项和为 ． 【解答】，，．，，，，，，，，数列前10项和．故答案为：9． 4.在数列中，，，，，则 A． B．1 C． D．4 解：由，得，则，即数列是以6为周期的周期数列． 由及得；由及得；由及得， 所以，则， 所以．故选：． 5.若数列满足，则数列中的项的值可能为 A． B．2 C． D． 解：由题意可得，，， 所以数列是周期为2的数列，所以数列中的项的值可能为，．故选：． 6.在数列中，，，，则的值为 ． 解：，，从而，即数列是以4为周期的数列，又由，， 得，即，，得，， ，故答案为：1． 7.已知正整数数列满足，则当时， ． 解：是偶数，是偶数，是偶数，是奇数， 是偶数，是偶数，是奇数，， 从第二项开始，正整数数列是以3为周期的周期数列， ... ...
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