中小学教育资源及组卷应用平台 5.4 三角函数的图象与性质 【学习要求】 1、了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法； 2、掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象。 3、理解正弦、余弦函数在区间上的性质(单调性、周期性、最大值和最小值及与轴的交点等)． 4、能画出的图象，并能借助图象理解在上的性质； 【思维导图】 【知识梳理】 1．正、余弦函数解析式 函数 解析式 定义域 正弦函数 y＝sinx R 余弦函数 y＝cosx R 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法：利用正弦线画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，是把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象． (2)五点法：用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象的步骤是： ①列表： x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 ②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)， (，1) ，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． ③用光滑的曲线顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图． 3．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． (2)图象：如图所示． 4．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sinx y＝cosx 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 【注】1）对周期函数的两点说明 (1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(x∈Z)．从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界． 2）对函数最小正周期的两点说明 (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin2x的最小正周期是π，因为y＝sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x． 5．正弦函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质如下表所示： 解析式 y＝sinx 图象 定义域 R 当x＝ 2kπ＋(k∈Z) 时，y取最大值1 值域 [－1，1] 当x＝ 2kπ－(k∈Z) 时，y取最小值1 最小正周期 2π 奇偶性 奇函数 单调性 在 上是增函数；在 上是减函数(k∈Z) 6．余弦函数的图象与性质 余弦函数的图象与性质如下表所示： 解析式 y＝cosx 图象 定义域 R 当x＝ 2kπ(k∈Z) 时，y取最大值1 值域 [－1，1] 当x＝ 2kπ＋π(k∈Z) 时，y取最小值1 最小正周期 2π 奇偶性 偶函数 单调性 在[(2kπ－1)π，2kπ]上是增函数；在[2kπ，(2k＋1)π]上是减函数(k∈Z) 7.正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示． 正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线． (2)性质：如下表所示. 函数性质 y＝tanx 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 增区间 (k∈Z) 减区间 无 [拓展](1)正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． (2)直线x＝＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线． (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝． 【高频考点】 高频考点1. “五点法”作三角函数图象 【方法点拨】用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤： (1)列表： x 0 π π 2π sinx或cosx 0或1 1或0 0或－1 －1或0 0或1 y y1 y2 y3 y4 y5 (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(，y2)，(π，y3)，(，y4)，(2π，y5)． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． 【例1】（2021·上海高一课时练习）用五点法作下列函数的图象： （1）； （2）． 【答案】(1)图象见解析；(2)图象见解析. 【解析】( ... ...
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