5.5 三角恒等变换-2021-2022学年高一数学同步学案（人教A版2019必修第一册）

中小学教育资源及组卷应用平台 5.5 三角恒等变换 【学习要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式）。 【思维导图】 【知识梳理】 1．两角差的余弦公式 (1)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinα·sinβ． (2)此公式简记作C(α－β)． 【注】对公式C(α－β)的三点说明 (1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式． (2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos(－)中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β． (3)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在现用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面： ①公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ． ②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]． 2．和角、差角公式如下表： 名称 公式 简记 差的正弦 sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α－β) 差的余弦 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ C(α－β) 和的正弦 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ S(α＋β) 和的余弦 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ C(α＋β) 差的正切 tan(α－β)＝　 T(α－β) 和的正切 tan(α＋β)＝　 T(α＋β) 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表 三角函数 公式 简记 正弦 sin2α＝2sinαcosα S2α 余弦 cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α 正切 tan2α＝　　 T2α 【注】1.倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．公式的适用条件：在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠＋且α≠kπ＋(k∈Z)，当α＝kπ＋(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式． 4．二倍角公式的逆用、变形用 逆用形式：2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝sin2α；cosα＝；cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；＝tan2α． 变形用形式：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2； 1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝；sin2α＝． 【高频考点】 高频考点1. 两角和差公式的简单应用 【方法点拨】 (1) 运用两角和差的正弦余弦正切公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记． (2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值． 【例1】（2021·泉州高一期中）化简，求值：（1）； （2）已知，求的值；（3）. 【变式1-1】（2021·山东高一课时练习）的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2021·河北高一课时练习）的值是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2021·广东高一课时练习）若，则的值为（ ） A． B． C． D．2 【变式1-4】（2021·全国高一课时练习）求下列各式的值： （1）.（2）；（3）. 高频考点2 . 二倍角公式运用 【方法点拨】对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解． (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察，非特殊角与特殊角总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合倍角公 ... ...