专题突破练 三角恒等变换与解三角形 一、选择题 1.(2021·深圳高级中学月考)在钝角△ABC中,AB=2,sin B=,且△ABC的面积是,则AC=( ) A. B.2 C. D. 2.(2021·辽宁大连二模)若tan,则=( ) A.- B.-3 C. D.3 3.(2021·山东日照期中)已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中R为△ABC外接圆的半径,若3asin A+3bsin B+4asin B=6Rsin2C,则sin Asin B-cos Acos B=( ) A. B. C.- D.- 4.(2021·海南二模)古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示.若实数n满足4sin218°+n2=4,则=( ) A. B. C. D. 5.(2021·江西南昌期末)“欲穷千里目,更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》,鹳雀楼位于今山西永济市,该楼有三层,前对中条山,下临黄河,传说常有鹳雀在此停留,故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图,某位游客(身高忽略不计)从地面点D看楼顶点A的仰角为30°,沿直线前进79 m到达点E,此时看点C的仰角为45°,若BC=2AC,则楼高AB约为( )m. A.65 B.74 C.83 D.92 6.(2021·河北邯郸期末)已知cos α+sin 2β=,sin α+sin βcos β=,则cos(α+2β)=( ) A. B. C. D.- 7. (2021·湖南长沙模拟)小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到村头的一个池塘(如图阴影部分),为了测量该池塘两侧C,D两点间的距离,除了观测点C,D外,他又选了两个观测点P1,P2,且P1P2=a,已经测得∠P1P2D=α,∠P2P1D=β,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组,就可以求出C,D间距离的是( ) ①∠DP1C和∠DCP1;②∠P1P2C和∠P1CP2;③∠P1DC和∠DCP1. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 8. (2021·吉林月考)如图,正三角形ABC的边长为4,D,E,F分别在边AB,BC和CA上(异于端点),且D为AB的中点.若∠EDF=120°,则四边形CFDE的面积为( ) A.2 B. C.3 D.无法确定 9.(2021·山东师大附中期末)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b-2a+4asin2=0,则下列结论正确的是( ) A.角C一定为锐角 B.a2+2b2-c2=0 C.3tan A+tan C=0 D.tan B的最小值为 二、填空题 10.(2021·北京延庆模拟)已知△ABC的面积为2,AB=2,B=,则= . 11.(2021·山西运城模拟)已知tan θ,tan-θ是方程x2+ax-3=0的两个根,则a= . 12.(2021·广东揭阳一模)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=2,a2=2b2+c2,则△ABC的面积的最大值为 . 13. (2021·山东潍坊一模)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形OAB的半径为10,∠PBA=∠QAB=60°,AQ=QP=PB,若按此方案设计,工艺制造厂发现,当OP最长时,该奖杯比较美观,此时∠AOB= . 答案解析 1.C 解析 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 依题意,三角形ABC是钝角三角形,c=2,sin B=,S△ABC=acsin B=,解得a=1,a0,所以C为锐角,符合题意,故AC= 2.A 解析 因为, 由于cos α=1-2sin2,sin α=2sincos, 所以=-tan=- 3.C 解析 由正弦定理=2R, 得sin A=,sin B=,sin C=, 代入3asin A+3bsin B+4asin B=6Rsin2C,得=6R, 化简得3a2+3b2+4ab=3c2,即a2+b2-c2=-ab, 所以cos C==- 故sin Asin B-cos Acos B=-cos(A+B)=cos C=- 4.A 解析 5.B 解析 设AC=x(x>0),则由已知可得AB=3x,BE=BC=2x,BD==3x,所以DE=BD-BE=3x-2x=79,解得x=24.7,所以楼高AB≈3×24.7=74.1≈74(m). 6.C 解析 由cos α+sin2β=知2cos α-cos 2β=2①,因为sin α+sin βcos β=,所以2sin α+sin 2β=,将①②两个等式平方相加得4+1-4cos(2β ... ...
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