圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题突破练23-2022届高考数学二轮专题复习（Word含答案）

专题突破练　圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C:=1的右焦点为F,过点M(4,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,连接AF,BF并延长分别与椭圆交于异于A,B的两点P,Q. (1)求直线l的斜率的取值范围; (2)若=λ=μ,证明:λμ为定值. 2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C:y2=4px(p>0)的焦点为F,且点M(1,2)到点F的距离比到y轴的距离大p. (1)求抛物线C的方程; (2)若直线l:x-m(y+2)-5=0与抛物线C交于A,B两点,问是否存在实数m,使|MA|·|MB|=64 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,一条渐近线方程为y=bx(b∈N*),且双曲线C经过点D(,1). (1)求双曲线C的方程; (2)设点P在直线x=m(y≠±m,0b>0)的离心率为,且经过点H(-2,1). (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(-3,0)的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A,B两点,直线HA,HB分别交x轴于M,N两点,点G(-2,0),若=λ=μ,求证:为定值. 5.(2021·广东汕头三模)已知圆C:x2+(y-2)2=1与定直线l:y=-1,且动圆M与圆C外切并与直线l相切. (1)求动圆圆心M的轨迹E的方程; (2)已知点P是直线l1:y=-2上一个动点,过点P作轨迹E的两条切线,切点分别为A,B. ①求证:直线AB过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB. 6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点D(-2,0),且焦距为2. (1)求椭圆C的方程; (2)过点A(-4,0)的直线l(不与x轴重合)与椭圆C交于P,Q两点,点T与点Q关于x轴对称,直线TP与x轴交于点H,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立 若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由. 专题突破练23　圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(1)解 由题意知直线l的斜率不为零,故设其方程为x=ty+4,与椭圆方程联立,消去x得(3t2+4)y2+24ty+36=0,Δ=144(t2-4)>0,解得t<-2或t>2. 故直线l的斜率k=的取值范围为 (2)证明 F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),由(1)得y1+y2=,y1y2=, 所以ty1y2=-(y1+y2). 由=,得 又点P在椭圆上,即有3+4=12, 代入上式得3(λx1-λ-1)2+4λ2=12,即λ2(3+4)-6λ(λ+1)x1+3(λ+1)2=12, 又3+4=12,所以12(λ+1)(λ-1)-6λ(λ+1)x1+3(λ+1)2=0. 易知λ+1≠0,故λ=,同理可得μ= 又(5-2x1)(5-2x2)=25-10(x1+x2)+4x1x2 =25-10[t(y1+y2)+8]+4(ty1+4)(ty2+4) =9+6t(y1+y2)+4t2y1y2=9+6t(y1+y2)+4t(y1+y2)=9, 所以λμ==1. 2.解 (1)由点M到点F的距离比到y轴的距离大p, 得点M到点F的距离与到直线x=-p的距离相等. 由抛物线的定义,可知点M在抛物线C上,所以4=4p,解得p=1. 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)存在满足题意的m,其值为1或-3. 理由如下: 由得y2-4my-8m-20=0. 因为Δ=16m2+4(8m+20)>0恒成立,所以直线l与抛物线C恒有两个交点. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4(2m+5). 因为=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=+(y1-2)(y2-2) =+y1y2-2(y1+y2)+5 =-4(2m+5)-8m+5 =0, 所以MA⊥MB,即△MAB为直角三角形. 设d为点M到直线l的距离,所以|MA|·|MB|=|AB|·d==4·|1+m|=16·|1+m|=64, 所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0, 解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍). 所以m=1或m=-3. 所以当实数m=1或m=-3时,|MA|·|MB|=64 3.(1)解 由解得 故双曲线方程为x2-y2=1. (2)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA的斜率为k,P(m,y0). 则PA:y-y1=k(x-x1),联立方程组 消去y,可得x2-[kx+(-kx1+y1)]2=1, 整理可得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0. 因为PA与双曲线相切, 所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)·(y1-kx1)2+4(1-k2)=0, 整理得4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0. 即k2-2kx1y1++1-k2=0, 即(-1)k2-2kx1y1+(+1)=0, 因为=1,所以-1=+1=代入可得k2-2x1y1k+=0 ... ...