3.4 基本不等式 一、选择题（共10小题；共50分） 1. 设正实数 ， 满足 （其中 为正常数）．若 的最大值为 ，则 A. B. C. D. 2. 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为 ，，，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为 A. B. C. D. 3. 若实数 ， 满足 ，则 的最小值是 A. B. C. D. 4. 若 为实数，且 ，则 的最小值是 A. B. C. D. 5. 设 ，，则 ，，， 中最大的是 A. B. C. D. 6. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 7. 制作一个面积为 ，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（既够用又耗材量少）是 A. B. C. D. 8. 设正实数 ，， 满足 ，则当 取得最大值时， 最大值为 A. B. C. D. 9. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 元．若每批生产 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为 元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A. 件 B. 件 C. 件 D. 件 10. 在下列各函数中，最小值等于 的函数是 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 11. 设 ，，则 的最大值为 ． 12. 将一根长 米的铁丝围成一个矩形，当矩形的宽为 米时，所围成矩形的面积最大． 13. 给出下列不等式的证明过程： ① 若 ，，则 ； ② 若 ，则 ； ③ 若 ，则 ； ④ 若 ，且 ，则 ． 其中证明过程错误的是 （填序号）． 14. 已知 ，，且 ，则 最小值为 ． 15. 一批货物随 列货车从 市以 千米/小时匀速直达 市，已知两地铁路线长 千米，为了安全，两列货车间距离不得小于 千米，那么这批物资全部运到 市，最快需要 小时（不计货车的车身长）． 三、解答题（共3小题；共39分） 16. 已知 ，求函数 的最大值． 17. 回答下列问题： （1）已知 ，求 的最大值； （2）已知 ， 是正实数，且 ，求 的最小值． 18. 某种汽车购车费用是 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为 万元，年维修费第一年是 万元，以后逐年递增 万元．问这种汽车使用多少年报废最合算 （最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间） 答案 第一部分 1. D 【解析】由题意得 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 ，即 ． 2. D 【解析】设三个连续时间段的时长分别为 ，，，依题意有 ，总的增长量为 ，则 ．故该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为 ． 3. B 【解析】，当且仅当 ，即 时， 取得最小值 ． 4. B 5. B 【解析】取 ，，得 ． 6. C 7. B 8. B 9. B 【解析】设平均每件产品的生产准备费用和仓储费用之和为 ，则 ，当且仅当 ，即 时取得最小值． 10. D 【解析】对于选项A：当 时，A显然不满足条件； 选项B：，当 时取等号， 当 时，，B显然不满足条件； 对于C：不能保证 ，故错； 对于D：因为 ，所以 ， 故只有D满足条件． 第二部分 11. 【解析】 所以 ，当且仅当 且 ，即 ， 时等号成立． 12. 13. ①②③ 14. 15. 【解析】提示：物资全部运到 市需要的时间为：，当且仅当 ，即 时，等号成立． 第三部分 16. 因为 ， 所以 ． ． 当且仅当 ，即 时，取等号． 所以当 时，函数取得最大值 ． 17. （1） 因为 ，所以 ，所以 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最大值为 ． （2） 因为 ， 是正实数，，所以 当且仅当 ，即 ， 时等号成立． 故 的最小值为 ． 18. 由于＂年维修费用第一年是 万元，以后逐年递增 万元＂，可知汽车每年维修费构成以 万元为首项， 万元为公差的等差数列，因此，汽车使用 年总维修费用为 万元． 设汽车的年平均费用为 万元，则有 当 ，即 （负值直接舍去）时取到等号，即当汽车使用 年报废，年平均费用 最小． 答：这种汽车使用 年报废最合算． 第1页（共1 页） ... ...
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