3.5 不等式的恒成立及存在性问题（补充） 一、选择题（共10小题；共50分） 1. 若命题：“ 恒成立”是真命题，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 2. 不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 3. 不等式 有解，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 4. 设函数 ，．若存在 ，使得 与 同时成立，则实数 的取值范围为 ． A. B. C. D. 5. 在 上定义运算 ．若不等式 对任意实数 成立，则 A. B. C. D. 6. 若不等式 在区间 上有解，则 的取值范围是 A. B. C. D. 7. 不等式 对于一切实数 都成立，则 A. B. C. D. 或 8. 已知 ，，且满足 ，则 的最大值是 A. B. C. D. 9. 若不等式 对于一切 成立，则 的取值范围是 A. B. C. D. 10. 已知不等式 对任意的正实数 ， 恒成立，则正实数 的最小值为 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 11. 已知函数 ，若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 12. 若关于 的不等式 在 上有解，则 的取值范围是 ． 13. 函数 的定义域是 ，则实数 的取值范围是 ． 14. 不等式 对任意实数 都成立，则实数 的取值范围是 ． 15. 若对于满足 的一切实数 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为 ． 三、解答题（共3小题；共39分） 16. 当 取何值时，关于 的不等式 对于一切实数 都成立 17. 定义在 上的函数 ，，，，． （1）求 ； （2）是否存在常数 ，，有 18. 对任意 ，函数 的值恒大于零，求 的取值范围． 答案 第一部分 1. A 【解析】当 时，不等式恒成立； 当 时，则 即 ，综上 ． 2. A 3. C 【解析】根据题意， 由绝对值的几何意义，得 因此，． 4. D 【解析】由题意，． ①当 时，由 可得，；要存在 ，使得 与 同时成立，必有 的判别式 ，即 ，解得 或 ．又因为 ，所以 ，此时二次函数 的对称轴为 ，只要二次函数的两个零点一个大于 ，另一个小于 就存在符合题意的 ，所以 ，解得 ． ②当 时，由 可得，；要存在 ，使得 与 同时成立，必有 的判别式 ，即 ，解得 或 ，又因为 ，所以 ，这时 ，只要二次函数的两个零点一个大于 ，另一个小于 就存在符合题意的 ，所以 ，解得 ，这与 矛盾． 综上所述， 的取值范围为 ． 5. C 6. A 【解析】由 知，方程 恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根． 于是不等式在区间 上有解的充要条件是 ， 即 ， 解得 ， 所以 的取值范围为 ． 7. B 8. B 【解析】 ，，且满足 ， ，化为：，当且仅当 ， 时取等号，则 的最大值为 ． 9. C 【解析】本题等价于 对任意的 恒成立． 记 ，此函数是对勾函数，在 上单调递减，所以 在 上有 ，所以 即 ． 10. B 【解析】，当且仅当 时取等号， 所以 的最小值为 ，于是 恒成立． 所以 ． 第二部分 11. 【解析】 等价于 ，即 ， ①先研究 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立， 因为 ，当且仅当“”时取等号， 所以 ； ②再研究 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立， 因为函数 在 上单调递增， 所以 ， 所以 ； 综上，实数 的取值范围是 ． 12. 【解析】由题意，得 ． 由绝对值的几何意义，得 ． 因此，． 13. 【解析】因为 的定义域为 ． 所以不等式 恒成立． ①当 时，不等式等价于 ，显然恒成立； ②当 时， 则有 ． 由①②知，． 14. 【解析】不等式 ，化为 ． 因为不等式 对任意实数 都成立， 所以 ．对任意实数 都成立， 当 时，化为 ，不满足要求，舍去； 当 时，变形满足 ， 解得：． 15. 或 【解析】原不等式化为 ， 因为 ， 所以 或 ， 所以 或 ． 第三部分 16. 时显然成立，当 时， 解得 ． 17. （1） ， 故 ． （2） 不存在．，取 ，则 ， 当 时，，故不存在 ，使得对 ，． 18. 将看成关于 的一次函数 ， 于是由题意得 解之得 或 ． 第1页（共1 页） ... ...
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