【2013高考数学攻略】专题8：数学思想方法之数形结合思想探讨

【2013高考数学攻略】 专题8：数学思想方法之数形结合思想探讨 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。 中学基础数学的基本知识分三类：一是数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；二是形的知识，如平面几何、立体几何等；三是数形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来的思想方法，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究（以形助数），即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究（以数辅形），即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合思想，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思想方法，在高考中经常考查。 数与形转换的三条途径：（1）建系：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解；（2）转化：通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等；（3）构造：通过对数(式)与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数等，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 数形结合的三种主要解题方式：（1）数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法去解决；（2）形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问题；（3）)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了。 运用数形结合思想分析解决问题要遵循的三个原则：（1）等价性原则：要注意由于所作的草图不能精确刻画数量关系带来的负面效应；（2）双向性原则：即进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易失真；（3）简单性原则：不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的。 运用数形结合思想分析解决问题时的三点注意事项：（1）要熟记常见函数或曲线的形状和位置，画图要比较准确，明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；（2）要恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；（3）要正确确定参数的取值范围。 结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面七方面探讨数形结合思想的应用：（1）数形结合思想在集合问题中的应用；（2）数形结合思想在函数问题中的应用；（3）数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用；（4）数形结合思想在方程与不等式问题中的应用；（5）数形结合思想在三角函数问题中的应用；（6）数形结合思想在平面向量问题中的应用；（7）数形结合思想在立体几何问题中的应用。 一、数形结合思想在集合问题中的应用：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年全国大纲卷文5分）已知集合={︱是平行四边形}，={︱是矩形}，={︱是正方形}，{︱是菱形}，则【 】 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】集合的概念，集合的包含关系。 【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图，由图知是大的集合，是最小的集合，因此，选项A、C、、D错误，选项B正确。故选B。 例2.（2012年上海市文4分）若集合，，则＝ ▲ 【答 ... ...