3.1.1 倾斜角与斜率 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 倾斜角与斜率 【学习目标】 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 知识点一　直线的倾斜角 思考1　在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？ 答案　不能． 思考2　在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？ 答案　不同． 梳理　(1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. (3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 知识点二　直线的斜率与倾斜角的关系 思考1　在日常生活中，我们常用“”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？ 答案　不同，因为≠. 思考2　思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？ 答案　存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理　(1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 知识点三　过两点的直线的斜率公式 直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x1≠x2)． 类型一　直线的倾斜角 例1　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)21世纪教育网版权所有 A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140° 答案　D 解析　根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°； 当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D. 反思与感悟　(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答． (2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．21教育网 跟踪训练1　已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 ． 答案　60°或120° 解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 类型二　直线的斜率 例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A(2,3)，B(4,5)； (2)C(－2,3)，D(2，－1)； (3)P(－3,1)，Q(－3,10)． 解　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1， 又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°. (2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°. (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 反思与感悟　(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 ①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； ②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． (2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 跟踪训练2　如图所示，直线l1，l2， l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别 ... ...