3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 两条直线平行与垂直的判定 【学习目标】 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直. 3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题． 知识点一　两条直线平行的判定 思考1　如图，设对于两条不重合的 出卷网直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？21教育网 答案　α1与α2之间的关系为α1＝ 出卷网α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，因为α1＝α2，所以tan α1＝tan α2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．21cnjy.com 思考2　对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？ 答案　一定有l1∥l2.因为k1＝k2 tan α1＝tan α2 α1＝α2 l1∥l2. 梳理 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线斜率都不存在 图示 知识点二　两条直线垂直的判定 思考1　如图，设直线l1与l2的 出卷网倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？21·cn·jy·com 答案　α2＝90°＋α1，因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和． 思考2　已知tan(90°＋α)＝－，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k1、k2之间的关系？ 答案　因为α2＝90°＋α1， 所以tan α2＝tan(90°＋α1)， 由于tan(90°＋α)＝－，tan α2＝－， 即tan α2tan α1＝－1， 所以k1·k2＝－1. 思考3　如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？ 答案　当k1·k2＝－1时，一定有l1⊥l2. 不妨设k2<0，即α2为钝角，因为k1·k2＝－1， 则有tan α2tan α1＝－1， 所以tan α2＝－＝tan(90°＋α1)， 则α2＝90°＋α1，所以l1⊥l2. 当l1⊥l2时，不一定有k1·k2＝－1， 因为如果直线l1和l2分别平行于x轴、y轴， 则k2不存在，所以k1·k2＝－1不成立． 梳理　 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在) k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2 类型一　两条直线平行的判定 例1　下列直线l1与直线l2平行的有_____． ①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； ②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； ③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)； ④l1经过点E(－3,2)，F(－3,10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5,5)． 答案　①③④ 解析　①∵kAB＝＝－，kCD＝＝－， ∴kAB＝kCD，∴l1∥l2. ②∵＝＝1≠＝2， ∴l1不平行于l2. ③∵＝tan 60°＝，＝＝， ∴，∴l1∥l2. ④l1，l2斜率均不存在且不重合，∴l1∥l2. 反思与感悟　 判断两条不同的直线是否平行的方法 跟踪训练1　已知A(1，－)，B(0，－)，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，当a为何值时，直线AB和直线CD平行．2·1·c·n·j·y 解　kAB＝＝－， kCD＝＝(a≠2)． 由kAB＝kCD，得－＝，即a2－2a－3＝0. ∴a＝3或a＝－1. 当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB， ∴AB与CD平行． 当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝， ∴AB与CD重合． 当2－2a＝－a，即a＝2时，kAB＝－，kCD不存在． ∴AB和CD不平行， ∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行． 类型二　两条直线垂直的判定 例2　已知三点A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)． 求证：△ABC是直角三角形． 证明　由斜率公式得：kAB＝＝－，kBC＝＝2，kAC＝＝－. 因为kAB·kBC＝－×2＝－1，所以AB⊥BC， 所以△ABC是直角三角形． 反思与感悟　使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 (1)一看：看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二 ... ...