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课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数. 刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念. 在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑. 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关. 一、是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程； 二、是求曲线的切线； 三、是求函数的最大值与最小值； 四、是求长度、面积、体积和重心等. 历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分. 莱布尼茨 (1646.7.1- 1716.11.14) , 德国哲学家、数学家,是 历史上少见的通才, 被誉 为十七世纪的亚里士多德。 在数学上, 他独立创立 了微积分，而且他所使 用的微积分的数学符号 被更广泛的使用,他还发 现并完善了二进制. 他和笛卡尔、巴鲁赫斯宾诺莎被认为是十七世纪三位最伟大的理性主义哲学家. 莱布尼茨在政治学、法学、伦理学、神学、哲学、历史学、语言学等诸多方向都留下了著作. 艾萨克·牛顿 (1643.1.4-1727.3.31) 英国皇家学会会长,英国著名的物理学家、数学家. 在力学上,牛顿阐 明了动量和角动量 守恒的原理，提出 牛顿运动定律. 他 发明了反射望远镜 在数学上，牛顿与莱布尼茨各自创立了微积分. 并证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具. 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想，通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 5.1.1 变化率问题（1） 5.1 导数的概率及其意义 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的, “指数爆炸”比“直线上升”快得多, 进一步地, 能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢 下 面我们就来研究这个问题. 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢 变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率. 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢 思考 计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考下列问题： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗 (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity). 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系 你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗 任意取一个时刻1十 t， t是非零时间改变量 当 t >0时， 1十 t在1之后，用运动员在时间段[1, 1十 t]内的平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度； 当 t <0时，1十 t在1之前， ... ...
