幂函数 最新课程标准 通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图像，理解它们的变化规律，了解幂函数． 新知初探·自主学习———突出基础性 知识点一 幂函数的概念 一般地，函数_____叫做幂函数，其中_____是自变量，_____是常数． 状元随笔 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量． 知识点二 幂函数的图像与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝ 定义域 R R R _____ _____ 值域 R _____ R _____ _____ 奇偶性 奇函数 _____ _____ 非奇非 偶函数 _____ 单调性 在R上 递增 在_____ 上递减， 在_____ 上递增 在_____上 递增 在_____ 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减 图像 过定点 _____ _____ 状元随笔 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 基础自测 1.在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．幂函数f(x)的图像过点(3，)，则f(8)＝( ) A．8 B．6 C．4 D．2 3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( ) A．1 B．2 C．1或2 D．3 4．判断大小：0.20.2_____0.30.2. 课堂探究·素养提升———强化创新性 题型1 幂函数的概念[经典例题] 例1 (1)下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)． 其中幂函数的个数为( ) A.1 B．2 C．3 D．4 (1)依据幂函数的定义逐个判断． (2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为( ) A.1 B．－3 C．－1 D．3 (2)依据幂函数的定义列方程求m. (3)已知幂函数f(x)的图像经过点，则f(4)＝_____． (3)先设f(x)＝xα，再将点(3，)代入求α. 【解析】 (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数． (2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数， 所以 所以m＝1. (3)设f(x)＝xα，所以＝3α，α＝－2， 所以f(4)＝4－2＝. 【答案】 (1)B (2)A (3) 方法归纳 (1)幂函数的判断方法 ①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数． ②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断． (2)求幂函数解析式的依据及常用方法 ①依据． 若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． ②常用方法． 设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α. 跟踪训练1 (1)给出下列函数： ①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝0.3x.其中是幂函数的有( ) A.1个 B．2个 C．3个 D．4个 (1)利用幂函数定义判断． (2)函数f(x)＝是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． (2)由幂函数的系数为1，求m的值，然后逐一验证． 题型2 幂函数的图像及应用[经典例题] 例2 幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图像如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是_____． 依据α<0 , 0<α<1和α>1的幂函数图像的特征判断． 方法归纳 解决幂函数图像问题应把握的两个原则 (1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图像确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 跟踪训练2 当α∈时，幂函数y＝xα的图像不可能经过第_____象限． 要先回忆幂函数的五种常见类 ... ...
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