平面与平面垂直 【教学目标】 1．通过平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养。 2．借助线面垂直的性质定理与判定定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养。 【教学重难点】 1．了解面面垂直的定义。 2．掌握面面垂直的性质定理和判定定理。 3．灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题。 【教学过程】 一、基础铺垫 二面角： 之前我们学习过直线与直线所成的夹角，那么平面与平面之间有夹角吗？如何来刻画这个夹角的大小呢？ 一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面。 如图所示，在二面角α-1-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小。 特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角。 二、新知探究 1．面面垂直性质定理 【例1】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD． （1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； （2）求证：AD⊥PB． [思路探究] （1）―→―→ （2）要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可。 [证明] （1）如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°， ∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD． （2）如图，连接PG。 ∵△PAD是正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD．又∵PG∩BG＝G。 ∴AD⊥平面PBG。 而PB 平面PBG，∴AD⊥PB． 【教师小结】 （1）面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法。所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直。 （2）两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线。 2．平面与平面垂直的判定 【例2】 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC． [证明] 连接AC，BC， 则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC， ∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC， 又BC 平面PBC， ∴平面PAC⊥平面PBC． 【教师小结】证明面面垂直的方法： （1）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； （2）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面。 3．垂直关系的综合应用 [探究问题] （1）如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？ [提示] ∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC． 同理可证PD⊥AD， ∵AD 平面ABCD，DC 平面ABCD，且AD∩DC＝D， ∴PD⊥平面ABCD． （2）如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD． [提示] 连接CO（图略），由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，∴AC⊥CB， 由AC＝BC知，∠CAB＝60°， ∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO。 ∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D， ∴PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，∴PD⊥CD， 由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB， 又PA 平面PAB，∴PA⊥CD． 3．试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系。 [提示] 垂直问题转化关系如下所示： 【例3】 如图 ... ...
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