3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系 2课时（课件+作业）（42，66张PPT+Word版含解析）

(课件网) 第三章　空间向量与立体几何 §4　向量在立体几何中的应用 4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第2课时　两个平面所成的 角、空间中的距离问题 课程标准　 1．会用向量解决二面角的计算问题. 2．理解图形与图形之间的距离的概念．(数学抽象) 3．理解并掌握两点之间、点到直线、点到平面、相互平行的直线与平面、平面与平面之间的距离的概念及它们之间的相互转化，会用法向量求距离．(直观想象、数学运算) 核心素养 1．理解二面角的概念、范围，能用向量语言表述二面角，即能将二面角化归为空间向量的夹角，这是利用向量方法研究二面角的前提． 2．理解空间中各类距离的概念，能将空间中的距离用向量的投影向量的长度表示． 3．利用向量方法求二面角与距离都是模式化的过程，应熟练掌握求二面角与距离的解题步骤． 4．通过比较向量方法与几何方法的异同，感悟向量方法在研究几何问题中的工具作用. 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能 必备知识 · 探新知 (1)如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则有θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，特别地，sin θ＝_____. (2)设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，又有|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝_____成立． 知识点 1 用空间向量求二面角的大小 sin〈n1，n2〉　 如图(2)(4)中〈n1，n2〉就是二面角α－l－β的平面角的补角；如图(1)(3)中〈n1，n2〉就是二面角α－l－β的平面角． 知识点 2 点到直线的距离 知识点 3 点到平面的距离 1．相互平行的直线与平面之间的距离 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离．此时，直线上的各点到平面所作的垂线段相等，即各点到平面的距离相等． 知识点 4 相互平行的直线与平面、平面与平面之间的距离 2．相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． (2)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段． (3)两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长． 关键能力 · 攻重难 题型探究 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的 余弦值． 题型一 利用空间向量求二面角 典例1 [解析]　(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD. (2)解：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． [规律方法]　利用向量方法求二面角的大小时，多采用求法向量的方法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐二面角还是钝二面角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来． 【对点训练】 如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成角的余弦值． [解析]　过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与 ... ...