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课件网) 第五章 计数原理 §4 二项式定理 4.1 二项式定理 课程标准 学法解读 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理及二项展开式的通项公式． 3．能解决与二项式定理有关的简单问题. 1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养. 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能 必备知识 · 探新知 知识点 1 二项式定理 (1)展开式共有n＋1项． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 知识点 2 二项展开式的特点 关键能力 · 攻重难 题型探究 题型一 二项式定理的正确运用 典例1 [规律方法] 1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件． 2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便． 3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [分析] 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解． 题型二 二项式系数与项的系数问题 典例2 C 题型三 展开式中的特定项 典例3 2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)． (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解． (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 28 易错警示 典例4 课堂检测 · 固双基 1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是 ( ) A．28 B．56 C．112 D．224 C 2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为 ( ) A．－210 B．210 C．－120i D．－210i A D 10 素养作业 · 提技能第五章 §4 4.1 A 组·素养自测 一、选择题 1．16的二项展开式中，第4项是( C ) A．Cx12 B．Cx10 C．－Cx10 D．Cx8 [解析] 展开式的通项为Tk＋1＝C·x16－k·k＝(－1)k·C·x16－2k，所以第4项为T4＝(－1)3×Cx10＝－Cx10.故选C． 2．二项式5的展开式中含x4项的系数为( A ) A．160 B．－160 C．80 D．－800 [解析] 5展开式的通项为Tk＋1＝Cx2(5－k)(－4)kx－k＝C(－4)kx10－3k，令10－3k＝4，得k＝2， 所以含x4项的系数为C(－4)2＝160.故选A． 3．若n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于( D ) A．4 B．5 C．6 D．7 [解析] 由二项展开式的通项公式可得n展开式的通项为Tk＋1＝C(3x3)n－kk＝3n－kCx3n－k，展开式中含有常数项，则3n－k＝0有正整数解，满足题意的最小的正整数为k＝6，n＝7，故选D． 4．(1＋x)6展开式中，含x3项的系数为( C ) A．45 B．30 C．75 D．60 [解析] (1＋x)6展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，则T3＝Cx2＝15x2，T5＝Cx4＝15x4，因此(1＋x)6展开式中含x3项的系数是2×15＋3×15＝75.故选C． 5．(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( C ) A．5 B．10 C．15 D．20 [解析] (x＋y)5展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx5－kyk(k∈N且k≤5)， 所以与(x＋y)5展开式的乘积可表示为：xTk＋1＝xCx5－kyk＝Cx6－kyk或Tk＋1＝Cx5－kyk＝Cx4－kyk＋2， 在xTk＋1＝Cx6－kyk中，令k＝3，可得：xT4＝Cx3y3，该项中x3 ... ...
