函数与导数—导数中的极值点偏移问题 专题综述 极值点偏移问题在高考和模考中都是一个热点问题，试题设问灵活新颖，综合性强，难度较大，往往作为压轴题出现. 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，函数的零点分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏.极值点偏移问题大致分为4中类型：加法型、减法型、商型、平方型，本专题重点探究这类问题的一般解法. 专题探究 探究1：构造对称的和（或差） 已知函数在区间的两个零点为，或，且极值点为，证明关于的加法型不等式、乘法型不等式问题，可进行对称化构造，解决此类问题. 答题思路： 例：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：，或 （1）定极值点：讨论函数的单调性并求出的极值点，设；假设此处在上单调递减，在上单调递增. （2）构造函数或； 分析：①要证只需证只需证即证，构造函数.②要证只需证只需证即证，构造函数.（3）利用单调性比较大小：通过求导讨论的单调性，求出函数的最值. （4）转化：转化为，或的大小关系. 若要证明的符号问题，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. (2021江苏省扬州市月考) 已知函数 （1）讨论的单调性： （2）若，是的两个零点.证明：； 【审题视点】 证明的两个零点的加法型不等式，构造函数解决. 【思维引导】 通过讨论单调性，明确有两个零点时的极值点及单调区间，根据上述答题思路，构造函数求最值，从而得出，再利用函数的单调性，得出自变量值的大小关系. 【规范解析】 解：（1）由题意得 ， 则当时，在为增函数 当时，令，则 在上单调递增，在上单调递减 综上，时，在为增函数； 时，在上单调递增， 在上单调递减 （2）由（1）知，当时函数有两个零点 且， ， 又， ，则，设 则 在区间上单调递增 即当时， 故 在区间上单调递减 ，即 【探究总结】 本题证明的不等式中含有两个变量,对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧,然后根据函数的单调性,通过两个变量之间的关系“减元”,建立新函数,最终将问题转化为函数的最值问题来求解.解题时，按照答题思路，逐步呈现，较容易的证明出结论，注意细节的处理. 证明乘法型不等式有时也可以通过取对数，变为加法型解决. (2021江苏南京联考) 已知函数 （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数的两个零点为，，证明： 探究2：消参减元 消参减元的主要目的就是减元,进而构造与所求解问题相关的函数.主要 是利用函数极值点乘积所满足的条件进行消参减元.其解题要点如下: 答题思路： （1）建立方程组：若为函数的两个零点，则，若为函数的两个极值点，则，方程组中都含有参数； （2）定关系：利用方程之间的和差积商的运算，建立与参数的关系； （3）消参减元：将所需证明的不等式或需求取值范围的代数式表示出来，表示的过程中，要与参数的关系式消去参数，将以比值或差值的形式呈现，将比值或差值设为，减元. （4）构造函数求解：构造关于的函数，转化为求函数的单调性、极值、最值问题. (2021湖北省荆州市高三模拟) 已知函数 （1）讨论的单调性; （2）设有两个不同的零点，，且，证明： 【审题视点】 转化为，可以利用消参减元的方法求的范围. 【思维引导】 第（2）问中得出，可用，表示出，通过两方程相加，等号左侧凑出，右侧变形出现，换元完成减元. 【规范解析】 解：（1）由题意得 ①当时，， 在上为单调递增； ②当时，的判别式， i）当时，，所以在上为增函数； ii）当时，令，则，， 当时，， 在，上单调递增， 当时，， 在上为单调递减. 综上所述：当时，在上为增函 ... ...
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