第二章导数及其应用 §1 平均变化率与瞬时变化率 1.1 平均变化率 1.函数f(x)=x2从x0到x0+Δx的平均变化率为k1,从x0-Δx到x0的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系是( ). A.k1
k2 C.k1=k2 D.无法确定 解析:由已知得k1==2x0+Δx,k2==2x0-Δx.∵Δx可正可负且不为零,∴k1,k2的大小关系不确定. 答案:D 2.如图,函数y=f(x)在x从1变到3之间的平均变化率等于( ). A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析:由题图可知f(1)=3,f(3)=1,所以平均变化率为=-1.故选B. 答案:B 3.如果函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则实数a=( ). A.-3 B.2 C.3 D.-2 解析:根据平均变化率的定义,可知=a=3. 答案:C 4.已知曲线y=x2和这条曲线上一点P,Q是曲线上点P邻近一点,则点Q的坐标为( ). A.(1+Δx,(Δx)2) B. C. D. 解析:∵点P在曲线y=x2上, ∴点P邻近一点Q的横坐标可设为1+Δx. ∵点Q也在曲线y=x2上, ∴点Q,故选C. 答案:C 5.已知函数y=f(x)=在区间[1,t]上的平均变化率为-,则t的值为( ). A.-1 B.2 C.3 D.-3 解析:Δy=-2=, =-,解得t=3. 答案:C 6.在x=1附近,取Δx=0.3,在四个函数①y=x,②y=x2,③y=x3,④y=中,平均变化率最大的是( ). A.④ B.③ C.② D.① 答案:B 7.已知函数y=f(x)=-,当x由2变为1.5时,自变量x的改变量Δx= ;函数值的改变量Δy= . 解析:Δx=1.5-2=-0.5,Δy=-=-=-. 答案:-0.5 - 8.将半径为R的球加热,当半径从R=1变到R=m时,球的体积膨胀率为,则m的值为 . 解析:∵ΔV=m3-×13=(m3-1), ∴. ∴m2+m+1=7,解得m=2或m=-3(舍去). 答案:2 9.已知函数y=f(x)=-x2+2x的图象上一点(-2,-8)及其邻近一点(-2+Δx,-8+Δy),求. 解:∵Δy=f(-2+Δx)-f(-2)=[-(-2+Δx)2+2(-2+Δx)]-(-8)=6Δx-(Δx)2, ∴=6-Δx. 10.求函数y=cos x分别在区间上的平均变化率. 解:当自变量x从0变到时,Δy=cos -cos 0=-1,所以. 当自变量x从变到时,Δy=cos -cos ,所以. 因此,y=cos x在区间上的平均变化率分别为.(课件网) 1.1 平均变化率 第二章 2022 内容索引 01 02 03 自主预习 新知导学 合作探究 释疑解惑 随堂练习 课标定位 素养阐释 1.理解函数平均变化率的概念. 2.了解平均变化率的实际意义. 3.体会数学抽象的过程,加强数学运算能力的培养. 自主预习 新知导学 平均变化率 【问题思考】 1.有甲、乙两个水龙头,甲从0 min到4 min流出50 L的水,乙从2 min到5 min流出45 L的水,请问哪个水龙头流出的水多 哪个水龙头流水快些 提示:甲;乙. 2.函数的平均变化率 对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),它在区间[x1,x2]的平均变化率= . 通常我们把自变量的变化 x2-x1 称作自变量x的改变量,记作Δx,函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即 用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的 快慢 . 3.做一做:如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上,平均变化率最大的一个区间是 . 解析:由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为 ,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4]. 答案:[x3,x4] 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)函数的平均变化率可为正值、负值,也可为0.( √ ) (2)随着函数平均变化率的不断增大,曲线变得越来越“陡”.( × ) (3)随着函数平均变化率绝对值的不断增大,曲线变得越来越“陡”.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 求函数值的改变量 【例1】 已知函数f(x)=x2-4x,当自变量x从2变为4时,函数值的改变量为( ). A.4 B.-4 C.2 ... ... 