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课件网) §2 成对数据的线性相关性 第七章 2022 内容索引 01 02 03 自主预习 新知导学 合作探究 释疑解惑 随堂练习 课标定位素养阐释 1.结合实例,了解样本相关系数的统计含义. 2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系. 3.结合实例,会通过样本相关系数比较多组成对数据的相关性. 4.通过标准化数据向量的夹角余弦值推导样本相关系数公式,体现数学抽象的素养. 5.通过计算多组成对数据的样本相关系数,加强数学运算的素养. 自主预习 新知导学 相关系数 【问题思考】 1.给定两个随机变量(X,Y)的6组成对数据:(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9). (1)请利用最小二乘法,求Y关于X的线性回归方程. (2)请画出散点图,判断随机变 量X和Y是否具有线性关系. 提示:从散点图发现,X和Y不具有线性关系. (3)有的散点图的各点并不集中在一条直线的附近,但按照求线性回归方程的步骤仍然求得回归直线,那么这样的回归直线有没有实际意义呢 在怎样的情况下求得的线性回归方程才有实际意义呢 提示:没有,需要对X,Y的线性相关性进行检验,在具有线性相关的前提下求得的线性回归方程才有实际意义. 2.(1)数据标准化:把一组数据x1,x2,…,xn标准化,即令xi'= (i=1,2,…,n),则x1',x2',…,xn'是均值为0、方差为1的数据,称它为原来数据x1,x2,…,xn的标准化. (2)相关系数:一般地,设随机变量X,Y的n组观测值分别为(x1,y1),(x2,y2),…, (xn,yn),记 称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数. (3)样本(线性)相关系数r的性质: ①r的取值范围:[-1,1]. ②|r|值越接近1,随机变量之间的线性相关程度越强;|r|值越接近0,随机变量之间的线性相关程度越弱. ③当r>0时,两个随机变量的值总体上变化趋势相同,此时称两个随机变量正相关; 当r<0时,两个随机变量的值总体上变化趋势相反,此时称两个随机变量 负相关; 当r=0时,此时称两个随机变量不线性相关. 所以分子为0,样本相关系数r的分子也为0, 即r=0. 答案:0 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)通过散点图一定可以看出两个变量之间的线性相关强弱.( × ) (2)通过散点图可以看出正相关与负相关有明显的区别.( √ ) (3)两个随机变量之间的线性相关程度越强,样本相关系数r越接近于1.( × ) (4)在散点图中,若点散布在从左下角到右上角的区域,则说明这两个变量之间的关系是正相关.( √ ) (5)样本相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度,明确地给出有无必要建立两变量间的回归方程.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 判断两变量间的相关性 【例1】 为了研究钢铁碳含量与电阻效应的关系,随机抽取了7组数据,如表: 碳含量/% 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 20℃时电阻/μΩ 15 18 19 21 22.6 23.8 26 (1)画出散点图,判断碳含量与电阻效应之间的相关性; 分析 (1)以X轴表示碳含量,Y轴表示电阻,作出散点图直观判断.(2)利用公式计算样本相关系数r,用|r|与0或1比较,进而作出判断. 解:(1)画出散点图如图所示. 由散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,具有很强的正相关性. (2)列表如下: i xi yi xiyi 1 0.10 15 0.01 225 1.5 2 0.30 18 0.09 324 5.4 3 0.40 19 0.16 361 7.6 4 0.55 21 0.302 5 441 11.55 5 0.70 22.6 0.49 510.76 15.82 6 0.80 23.8 0.64 566.44 19.04 7 0.95 26 0.902 5 676 24.7 合计 3.8 145.4 2.595 3 104.2 85.61 r=0.996接近1,说明碳含量与电阻效应具有很强的正相关性.从散点图观察的相关性与样本相关系数r的计算结果一致. 1.判断两个变量之间的线性关系的方法:一是用散点图直观观察,二是计算样本相关系数r,|r|值越接近1,随机变量之间的线性相关程度越强.准确的判断方法是先用散点图 ... ...
