函数定义域、值域求法总结 考情分析 高考中对函数的定义域和值域这方面的考查，题型以选择、填空题为主，难度中等。经常与不等式、导数、三角函数等内容相结合来考查。而这一切的基础都是函数的定义域和值域，另外这方面的内容也经常在高考大题中的某个步骤中呈现，因此这个内容几乎贯穿了高中数学学习的始终。因此函数的定义域和值域是高中数学教学的重点。本节课系统地总结了函数定义域、值域方面的知识、技能和方法，通过设计一系列由浅入深、由易到难的配套例题和练习题，这些题型覆盖了所介绍的各种方法。在一一配套的练习过程中，使学生将抽象的各种数学方法具体化，培养了学生学习数学的兴趣，从而使学生能够轻轻松松地掌握函数的定义域、值域的具体求法。 知识整合 一、函数的概念： 设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一的值与它对应，那么称为从集合到集合的一个函数。记作：。其中叫做自变量，叫做函数，自变量的取值范围（数集）叫做函数的定义域，与的值对应的值叫做函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域。 二、求函数的定义域的主要依据是： ① 分式的分母不能等于零； ② 偶次方根的被开方数必须大于等于零； ③ 零次幂的底数； ④ 对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1. ⑤ 的定义域为； ⑥ 由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。 ⑦ 对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到. ⑧ 分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集。 三、函数值域的求法： ① 图象法（数形结合）：观察图象可得值域。 ② 利用函数的单调性：若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值. ③ 利用配方法：形如型,用此种方法,注意自变量x的范围. ④ 利用“分离常数”法：形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. ⑤ 利用换元法：形如型,可用此法求其值域. ⑥ 利用基本不等式法。 ⑦ 利用三角函数的有界性：如. ⑧ 导数法：利用导数与函数的连续性求出复杂函数的极值和最值,然后求出值域 ⑨ 判别式法：用判别式法求函数值域时，必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程的等价性。 ⑩ 平方开方法：一般适用于两个函数的和的形式，并且这两个函数均为非负，平方以后得到一个常数与一个新函数的和的形式。并且新函数的值域易求。具备这几个特征，就可以应用平方开方法，先平方求出值域，再开方求出原函数的值域。注意应先求原来函数的定义域。 考向一 定义域问题 【典例引领】 例1. 函数的定义域为 （ ） A. B. C. D. 【解析】由题意，得，解得，且，故选B。 例2．函数的定义域_____ 【解析】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域是：，故答案为：. 例3. 函数的定义域是 【解析】由题意得，，解得 。 例4. 函数的定义域是 【解析】由，得，所以，且，故答案为 例5．函数的定义域为（ ） A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 【解析】由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈ (k∈Z)．故选：B 例6．若函数定义域为，则函数的定义域为_____. 【解析】∵，∴. 故答案为 例7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题函数的定义域为，在中， 所以，在中，所以.故选：B 例8．已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为函数的定义域为，所以恒成立，所以，即，正确的个数为，故选A． 【变式拓展】 1．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（ ） A．{x|x＜0} B．{x|x≤﹣1}∪{0} C．{x|x≤﹣1} D．{x|x≥﹣1} 3．函数的定义域为（ ） A. ... ...
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