莆田市二中2012-2013学年高二上学期期末考试数学（理）试题 第I卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1、已知，O为坐标原点，则向量与的夹角是（ ） A．0 B． C． D． 2、椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（ ） A． B．1 C．2 D．4 3、已知对任意实数，有，则时（ ） A． B． C． D． 4、已知，则函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 5、设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 6、设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导 函数的图象可能为（ ） ． 7、已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 8、已知底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，则点C到平面PBD的距离为（ ） A． B． C． D．1 9、如图，正四棱柱中，AA1＝2，AB＝1， M、N分别在AD1，BC上移动，且始终保持MN∥平面 ，设BN＝x，MN＝y，则函数的图象大 致是（ ） 10、已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A．上恰有一个零点 B．上恰有一个零点 C．上恰有两个零点 D．上恰有两个零点 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、函数的图象在点处的切线方程为，则 。 12、设椭圆和双曲线的公共焦点分别为，P为这两条曲线的一个交点，则＝ 。 13、已知等边△ABC与正方形ABDE构成一个直二面角，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值为 。 14、已知函数在区间［2，3］上单调递增，则实数a的取值范围是 。 15、已知两定点M（－2，0），N（2，0），若直线上存在点P，使得，则该直线为“给力直线”，给出下列直线，其中是“给力直线”的是 （将正确的序号标上） ① ② ③ ④ 三、解答题:本大题有6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、（本题满分13分） 已知函数，设若。 ⑴求b、c、d的值。 ⑵求的单调区间与极值。 17、（本题满分13分） 如图所示的几何体中，底面ABC为等腰三角形，EA⊥面ABC，DB⊥面ABC，AC⊥BC且BC＝BD＝2AE，M是AB的中点。 ⑴求证：CM⊥EM ⑵求CM与平面CDE所成的角。 18、（本题满分13分） 已知一条不在y轴左侧的曲线E上的每个点到A（1,0）的距离减去它到y轴的距离差都是1。 ⑴求曲线E的方程； ⑵已知曲线E的一条焦点弦被焦点分成长为m、n两部分，试判断是否为定值，若是求出定值并加以证明，若不是，请说明理由。 19、（本题满分13分） 如图，三棱柱中，AA1⊥平面ABC，AA1＝，AC1＝3， AB＝2，BC＝1， ⑴证明：BC⊥平面ACC1A1； ⑵若D为CC1的中点，在棱AB上是否存在 一点E，使DE∥平面AB1C1，证明你的结论； ⑶求二面角B－AB1－C1的余弦值的大小。 20、（本题满分14分） 已知焦点在y轴上的椭圆经过点A（1,0），且离心率为。 ⑴求椭圆的方程； ⑵过抛物线上P点的切线与椭圆交于不同的两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当直线GH与y轴平行时，求h的最小值。 21、（本题满分14分） 设 ⑴当时，求曲线在处的切线方程； ⑵如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数m； ⑶如果对任意的成立，求实数a的取值范围。 ... ...
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