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课件网) §4 直线与圆锥曲线的位置关系 1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系. 2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题. 3.加强数形结合思想的训练与应用. 1.数学抽象：直线与圆锥曲线的三种关系 2.直观想象：数形结合的思想 3.数学运算：直线与圆锥曲线的有关问题 体会课堂探究的乐趣， 汲取新知识的营养， 让我们一起 吧！ 进 走 课 堂 我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题。 类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题。 你认为应该怎样来判断直线与椭圆是否有公共点？如果有两个公共点，应该怎样求得对应线段的长？ 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0. 如消去y后得ax2+bx+c=0. ①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). ②若a≠0,设Δ=b2-4ac. Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点; Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点. 2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦 (2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用两点间距离公式直接运算. 1.判断 答案:(1)× (2)√ (3)× 解析:设所求抛物线的方程为y2=ax(a≠0).① 直线方程变形为y=2x+1,② 设抛物线截直线所得弦为AB. 将②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0, 答案:y2=12x或y2=-4x 2.顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为 的抛物线方程为 . 例2. 已知直线l:kx-y+2-k=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时, (1)l与C无公共点; (2)l与C有唯一公共点; (3)l与C有两个不同的公共点. 分析直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值. 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离. (2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴. (3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交. 跟踪训练1 已知直线l:y=2x+m,椭圆C: .试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)有两个不同的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P,Q两点, 且OP⊥OQ,|PQ|= ,求椭圆的方程. 分析设出椭圆方程,将椭圆方程和直线方程联立消去y,转化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系,根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解. 若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法: (1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式, 便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦. (2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解. 设直线方程为y=kx+m,与圆锥 ... ...
