(
课件网) 7.4.2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 第三部分 内容索引 01 02 必备知识 精要梳理 关键能力 学案突破 3 核心素养微专题(八) 必备知识 精要梳理 1.圆锥曲线的弦长 (1)直线方程的设法,已知直线过定点(x0,y0),设直线方程为y-y0=k(x-x0),若已知直线的纵截距为(0,b),设直线方程为y=kx+b,若已知直线的横截距为(a,0),设直线方程为x=ty+a; (2)弦长公式,斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时, 2.处理中点弦问题常用的求解方法 3.圆锥曲线中常见的最值、范围、证明问题 (1)求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围. (2)圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法 ①两类最值问题:(ⅰ)涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;(ⅱ)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题. ②两种常见解法:(ⅰ)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;(ⅱ)代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法或导数法解决. (3)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). 解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 常用的证明方法有: ③证|AB|=|AC|,可证A点在线段BC的垂直平分线上. 关键能力 学案突破 热点一 圆锥曲线中的最值问题 【例1】(2020百校联考,理21)已知圆O:x2+y2=r2(r>0),椭圆C: =1 (a>b>0)的短半轴长等于圆O的半径,且过C右焦点的直线与圆O相切于点D . (1)求椭圆C的方程; (2)若动直线l与圆O相切,且与椭圆C相交于不同的两点A,B,求原点O到弦AB的垂直平分线距离的最大值. (2)(方法一) 利用斜率构建目标函数 设点O到弦AB的垂直平分线的距离为d,①若直线l垂直于x轴,则弦AB的垂直平分线为x轴,所以d=0; 若直线l垂直于y轴,则l与椭圆C只有一个交点,不符合题意. ②若直线l不与坐标轴垂直,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),因为l与圆O (方法二) 利用点的坐标构建目标函数 设点O到弦AB的垂直平分线距离为d, ①若直线l垂直于x轴,则弦AB的垂直平分线为x轴,所以d=0; 若直线l垂直于y轴,则l与椭圆C只有一个交点,不符合题意. ②若直线l不与坐标轴垂直,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点坐标为 解题心得目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型 【对点训练1】(2020陕西渭南高三模拟,21)已知直线l:x-y+1=0与焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)相切. (1)求抛物线C的方程; (2)过点F的直线m与抛物线C交于A,B两点,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值. ∵直线l:x-y+1=0与抛物线C相切,∴Δ=4p2-8p=0,解得p=2或p=0(舍去). ∴抛物线C的方程为y2=4x. 热点二 圆锥曲线中的范围问题 (1)求椭圆C的标准方程; (2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A,B两点,且与圆:x2+y2=2交于E,F两点,求|AB|·|EF|2的取值范围. 解题心得范围问题的解题策略 解决有关范围问题时,先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等),寻找不等关系,其方法有: (1)利用判别式或几何性质来构造不等式,从而确定所求范围; (2 ... ...
