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课件网) 函数的极值、最值 第7练 专项典题精练 高考汇编 1.(2011·福建)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于 A.2 B.3 C.6 D.9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b， ∵f(x)在x＝1处有极值， ∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立， ∴ab的最大值为9. 2.(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 由题|MN|＝x2－ln x(x>0)，不妨令h(x)＝x2－ln x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2017·全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为 A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1， 则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1 ＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]. 由x＝－2是函数f(x)的极值点，得 f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0， 所以a＝－1. 所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1， f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由ex－1>0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x<－2时，f′(x)>0；当－2
1时，f′(x)>0. 所以x＝1是函数f(x)的极小值点. 所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则 A.ab C.aba2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 方法一 (分类与整合法)因为函数f(x)＝a(x－a)2·(x－b)， 所以f′(x)＝2a(x－a)(x－b)＋a(x－a)2＝a(x－a)·(3x－a－2b). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当a>0时， 所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意； 此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意； 所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意. (2)当a<0时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意. 所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意； 此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上，a>0且b>a满足题意，a<0且ba2成立. 方法二 当a＝1，b＝2时，函数f(x)＝(x－1)2·(x－2)， 画出该函数的图象如图1所示， 可知x＝1为函数f(x)的极大值点，满足题意. 从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误； 当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)， 画出该函数的图象如图2所示， 可知x＝－1为函数f(x)的极大值点，满足题意. 从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误. 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法三 当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象， 如图3所示，观察可知b>a. 当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象， 如图4所示，观察可知a>b. 图3 图4 综上，可知必有ab>a2成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2019·天津)已知a∈R.设函数f(x)＝ 若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为 A.[0,1] B.[0,2] C.[0，e] D.[1，e] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 方法一 当a＝0时，不等式f(x)≥0恒成立，排除D； 当x≤1时，f(x)＝x2－2ex＋2e的最小值为f(1)＝1>0，满足f(x)≥0； 易得f(x)在x＝e处取得极小值(也是最小值)f(e)＝0， ... ... 
