(
课件网) 定点、定值问题 第27练 考情分析 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，定点和定值问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现. 一、定点问题 例1 (2020·全国Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E： (a>1)的左、右顶点， G为E的上顶点， ＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程； 解 依据题意作图，如图所示. 可得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)， 解得a＝3或a＝－3(舍去)， (2)证明：直线CD过定点. 证明 设P(6，y0)， 规律方法 求解定点问题常用的方法 (1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明. (2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标. (3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明. 跟踪训练1 (2021·晋中模拟)设椭圆C： (a>b>0)，O为原点，点 A(4,0)是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于|OA|，离心率为 (1)求椭圆C的方程； 所以b2＝a2－c2＝1， (2)直线l：y＝kx＋t与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为M′，N关于原点O的对称点为N′，若M′，N′满足 ＋ (λ＋μ＝1)，求证：直线l经过定点. 证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则M′(－x1，y1)，N′(－x2，－y2)， 可得A，M′，N′三点共线， 所以kAM′＝kAN′，即kAN′－kAM′＝0， 整理得2kx1x2＋(t＋4k)(x1＋x2)＋8t＝0. ① 可得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0， 整理得t＝k，满足Δ>0， 所以直线l的方程为y＝kx＋k，即y＝k(x＋1)， 即直线l恒过定点(－1,0). 二、定值问题 例2 (2020·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为 ，且过点A(2,1). (1)求C的方程； 解得a2＝6，b2＝3. (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值. 证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2). 若直线MN与x轴不垂直， 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， 整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0. 整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0. 因为A(2,1)不在直线MN上， 所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1. 若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1). 得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0. 若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边， 规律方法 求圆锥曲线中定值问题常用的方法 (1)引出变量法：其解题流程为 (2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (1)求椭圆C的标准方程； 又a2＝b2＋c2， 解得a＝2，b＝1， (2)过定点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，已知点 ，设直 线AN，BN的斜率分别为k1，k2，判断k1＋k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由. 解 方法一 ①若AB的斜率不存在， ②若AB的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设AB的方程为y＝k(x－1)， ∴k1＋k2＝1. 方法二 当直线AB的斜率为0时，A(－2,0)，B(2,0)， ∴k1＋k2＝1， 直线AB的斜率不为0时，设直线AB为x＝my＋1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴k1＋k2＝1. ... ...
