1.2.3直线与圆的位置关系同步学案

2.3　直线与圆的位置关系 最新课标 (1)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． (2)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． [教材要点] 要点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ____个 ____个 ____个 判定方法 d__r d__r d__r 　代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0 状元随笔�———�几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线与圆最多有两个公共点．(　　) (2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．(　　) (3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离．(　　) (4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．(　　) 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　B．相切 C．相离 D．无法判断 3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　) A．1 B． C． D．2 4．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于_____． 题型一　直线与圆位置关系的判断 例1　已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时： (1)直线与圆有两个交点； (2)直线与圆有一个交点； (3)直线与圆没有交点． 方法归纳 判断直线与圆位置关系的三种方法 1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． 2．代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 跟踪训练1　(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 (2)已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 若直线与圆相切，则m＝_____； 若直线与圆相离，则m的范围是_____． 题型二　直线与圆相切问题 例2　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． 方法归纳 圆的切线的求法 1．点在圆上时： 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0. 2．点在圆外时： (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就是切线方程． (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解． 跟踪训练2　(1)过点A(2，1)，作圆的(x－3)2＋(y－1)2＝1切线，则切线方程为_____． (2)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝_____，r＝_____． 题型三　弦长问题 例3　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． 弦心距、半弦长与半径构成的直角三角形求解． 变式探究　若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解？ 方法归纳 求弦长常用的三种方法 1．利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系(l)2＋d2＝r2解题． 2．利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系 ... ...