5.4.1二项式定理的推导同步学案

4．1　二项式定理的推导 [教材要点] 要点一　二项式定理 (a＋b)n＝ an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋ bn(n∈N*)，这个公式称为二项式定理，等号右边的多项式称为(a＋b)n的二项展开式，共有n＋1项，其中各项的系数 (k＝0，1，2，…，n)称为二项式系数． 状元随笔　1.二项展开式的特点：(1)展开式共有n＋1项，各项的次数都是n；(2)字母a按降幂排列，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，次数由0逐项加1直到n. 2．二项展开式的第k＋1项的二项式系数是，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第k＋1项的系数则是二项式系数与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是，而第二项的系数则是·24. 注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数． 要点二　二项展开式的通项 二项展开式中的an－kbk称为二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝an－kbk. 状元随笔　在应用通项Tk＋1＝an－kbk时，要注意： (1)通项是二项展开式的第k＋1项，而不是第k项． (2)展开式中第k＋1项的二项式系数与第k＋1项的系数的概念不同． (3)(a＋b)n与(b＋a)n的二项展开式相同，但是(a＋b)n的第k＋1项为an－kbk，(b＋a)n的第k＋1项为bn－kak.因此，应用二项式定理时，a与b是不能随便交换位置的． (4)通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个量，只要知道其中的四个量，就可以求出第五个量，在应用二项式定理时，常常遇到已知这五个量中的若干个，求另外几个量的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组).这里必须注意n是正整数，k是非负整数且k≤n. [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　) (3)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．(　　) 2.的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9　　　　　B．10　　　　　C．11　　　　　D．8 3．(x＋2)6的展开式中x3的系数是(　　) A．20 B．40 C．80 D．160 4.展开式中的常数项为_____． 题型一　二项式定理的正用、逆用 例1　(1)写出展开式：； (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 方法归纳 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． 跟踪训练1　(1)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于(　　) A．x4 B．x4＋1 C．(x－2)4 D．x4＋4 (2)用二项式定理展开(2x－1)4＝_____． 题型二　求展开式的特定项及系数 角度1　二项展开式中的特定项问题 例2　(1)在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　) A．－5 B．5 C．－10 D．10 (2)在二项式的展开式中，求①第4项；②常数项；③有理项． 方法归纳 二项展开式的通项Tk＋1＝an－kbk的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第k项；②求含xk(或xpyq)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项，找出未知数的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算． 跟踪训练2　(1)展开式中的常数项为(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 ... ...