随机变量的数字特征 【第一课时】 【教学目标】 1．通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养。 2．借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养。 【教学重难点】 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值。（重点） 2．掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值。（重点） 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题。（难点） 【教学过程】 一、情境引入 某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 二、新知初探 1．均值或数学期望 （1）定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示。 X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称 E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称为期望）。 （2）意义：它刻画了X的平均取值。 （3）性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝ax＋b（a≠0）， 则E（Y）＝aE（x）＋B． 拓展：随机变量的均值公式与加权平均数的联系 加权平均数，假设随机试验进行了n次，根据X的概率分布，在n次试验中，x1出现了p1n次，x2出现了p2n次，…，xn出现了pnn次，故在n次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn。因此n次试验中，X出现的平均值等于＝E（X）。 故E（X）＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn。 2．两点分布、二项分布及超几何分布的均值 （1）若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E（X）＝p。 （2）若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B（n，p），则E（X）＝np； （3）若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H（N，n，M），则E（X）＝。 三、合作探究 类型1 求离散型随机变量的数学期望 【例1】（1）设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．2 （2）（一题两空）某运动员投篮命中率为p＝0.6，则 ①投篮1次时命中次数X的数学期望为_____； ②重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望为_____。 答案：（1）A （2）①0.6 ②3 解析：[（1）设白球x个，则取出的2个球中所含白球个数为ξ～H（7，2，x）， E（ξ）＝＝，∴x＝3．故选A． （2）①投篮1次，命中次数X的分布列如下表： X 0 1 P 0.4 0.6 则E（X）＝0.6． ②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B（5，0.6），则E（Y）＝np＝5×0.6＝3．] [规律方法] 常见的三种分布的均值 1．设p为一次试验中成功的概率，则 （1）两点分布E（X）＝p； （2）二项分布E（X）＝np。 2．超几何分布E（X）＝，其中X～H（N，n，M）。 熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度。 1．（1）篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分。已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是_____。 （2）设离散型随机变量X的分布列为P（X＝k）＝C·· （k＝0，1，2，…，300），则E（X）＝_____。 答案：（1）0.8 （2）100 解析：[（1）因为P（X＝1）＝0.8，P（X＝0）＝0.2，所以E（X）＝1×0.8＋0×0.2＝0.8． （2）由P（X＝k）＝C··， 可知X～B，∴E（X）＝300×＝100.] 类型2 离散型随机变量均值的性质 【例2】已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则E（Y）＝_____。 答案： 解析：[由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝， ∴E（X）＝（－2）×＋（－1）×＋0×＋1×＋2×＝－。 由Y＝－2X，得E（Y）＝－2E（X）， 即E（Y）＝－2×＝。] [母题探究] （变结论）本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E（ξ）＝－，求a的值。 [解]E（ξ）＝E（aX＋3）＝aE（X）＋3＝－a＋3＝－， 所以a＝15． [规律方法] 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为 ... ...
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