中小学教育资源及组卷应用平台 必考点02 直线与平面平行 题型一 直线与平面平行的判定与性质 例题1设l，m，n为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中不正确的有（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，则． A．②③ B．②④ C．①③ D．② 【答案】B 【解析】因，，由平行公理知，，①正确； 三棱柱的一底面的两条棱都平行于另一底面，显然这两条棱所在直线相交，②不正确； 因，，，由线面平行的性质知，，③正确； ，，此时，直线n可以在平面内，④不正确， 所以给出的命题中，不正确的是②④.故选：B 例题2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点. (1)求三棱锥B1－A1BE的体积； (2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由. 【解析】 (1)如图所示，VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝S△A1B1B· DA＝××2×2×2＝. (2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下： 因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE. 又A1B∥CD1，所以GE∥CD1. 又E为DD1的中点，则G为CD的中点. 故BG∥B1F，BG就是所求直线. 【解题技巧提炼】 1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线. 2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反. 题型二 异面直线所成的角 例题1（2021·湖北华中师大一附中高三模拟）在三棱锥中，，，平面，，是线段的中点，则异面直线和所成的角等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，将三棱锥还原成长方体, 取的中点，又因为E为AC的中点，则， 所以异面直线和所成的角即直线和所成的夹角，设所成角为，则. 由勾股定理，，则， ， 连接，则， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，，所以直线和所成的夹角为. 故选：C. 【解题技巧提炼】 （1）平移其中一条或两条使其相交。 （2）连接端点，使角在一个三角形中。（或者平行四边形等可以轻易求出角与角关系的基本平面几何形中） （3）计算三条边长，用余弦定理或正弦定理计算余弦值。 （4）若余弦值为负，则取其相反数。 题型三 面面品行的判定与性质 例题1如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 【解析】 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面. (2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB， ∴A1G綉EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 例题2在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 【证明】如图所示，连接A1C交AC1于点M， ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点，连接MD， ∵D为BC的中点， ∴A1B∥DM. ∵A1B 平面A1BD1， DM 平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1， 又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形， ∴DC1∥BD1. 又DC1 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1， 又DC1∩DM＝D，DC1，DM 平面AC1D， 因此平面A1BD1∥平面AC1D. 【解题技巧提炼】 1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面 ... ...
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