福鼎一中高一年段数学培优教材第五讲 平面向量（1） 基础知识： 1．向量的运算： 加法：设则 减法：设则 实数与向量的积： 向量与的关系； 设则 向量的数量积： 是与的夹角）； 设 则 2．向量的关系： ①不等关系： （注意等号的条件） ②设 则 3．平面向量的基本定理：如果是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。 相关结论：如果是同一平面内的不共线向量，且，则 点O、A、B、C在同一平面内，A、B、C共线的充要条件是： 4．常用公式： 中，M为BC边的中点，G为重心， 则 综合应用： 例1：求证：三角形的三条中线交于一点。 例2：设外心为O，取点M，使，求证M是的垂心，且此三角形的外心、垂心、重心在一条直线上。 例3：在三角形ABC中，点M分所成的比为2，点N分所成的比为，设线段CM和BN交于点P，直线AP和BC的交点为Q，且，用表示 例4：已知O为内一点，，设且 ，试用表示。 例5：（1）已知三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P在（ ） A 内部 B 外部 C 在直线AB上 D 在直线AC上 （2）O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （3）在四边形ABCD中，设，，，，若，则该四边形一定是（ ） A 矩形 B 正方形 C 菱形 D等腰梯形 三、强化训练： 已知A、B、C三点在同一直线上，O在直线外，，，，且存在实数，使成立，求点C分所成的比及的值。 若P分有向线段所成的比为，则有。 已知，当为何值时：（1）与平行？平行时是否同向？ （2）与垂直？ 4．如图，在平行四边形ABCD中,,设以为基底表示 设O为内一点，且满足，求 6．中，M是AB的中点，E是CM的中点，延长AE交BC于F，作MH∥AF，求证：BH= HF =FC。 7．如图，在平面斜坐标系，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴y轴同方向的单位向量，则p点斜坐标为. 若p点斜坐标为（2，－2），求p到O的距离|PO|； 8．已知向量的对应关系用表示。（1）证明： 对任意向量及常数，恒有成立； （2）设，求向量的 坐标。 （3）求使为常数)的向量的坐标。 参考答案： 例1：略 例2： 三点共线。 说明：外心为O，取点M，使成立的充要条件是 M为的垂心 例3： 例4： 如图建立直角坐标系： 设 例5：（1）D （2）B （3）A 强化练习： 1． 2．略 3．（1）反向 （2） 4． 5． 3 6． 7．（2） （3） A B C O
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