专题9 抛物线中的切线问题 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 专题9 抛物线中的切线问题 一、考情分析 对于抛物线特别是抛物线,可以化为函数,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点. 二、解题秘籍 (一) 利用判别式求解抛物线中的切线问题 求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用求解. 【例1】（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C上任意一点到,距离之和为,抛物线E：的焦点是点. （1）求曲线C和抛物线E的方程； （2）点是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M,N,求的面积的取值范围． 【分析】(1)根据给定条件求出椭圆C的长短半轴长即可直接写出其方程,再写出抛物线E的方程. (2)设出过点Q的抛物线E的切线方程,再与抛物线方程联立,借助判别式为0求出两条切 线斜率的关系、二切点坐标,再用点Q的坐标表示出的面积即可计算作答. 【解析】（1）依题意,曲线C是以,为左右焦点,长轴长为的椭圆,则短半轴长有, 曲线C的方程为：,即,在中,,即, 所以曲线C的方程为：,抛物线E的方程为：. （2）显然,过点Q的抛物线E的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：, 由消去x并整理得：, 依题意,,设二切线斜率为,则,, 设斜率为的切线所对切点,斜率为的切线所对切点, 因此,,,于是得,,, 直线MN上任意点,,由得： ,化简整理得：, 则直线MN的方程为：,点Q到直线MN的距离, , 则的面积, 而点在曲线C上,即,, 在上单调递减,当时,,当时,, 于是有,则,有 所以的面积的取值范围是. (二) 利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题 求解抛物线在其上一点处的切线方程,可先把化为,则,则抛物线点处的切线斜率为,切线方程为. 【例2】设抛物线：,其焦点为 ,准线为,点为上的一点,过点作直线的垂线,垂足为,且,. （1）求抛物线的方程； （2）设点为外的一点且点不在坐标轴上,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,,过点作轴的垂线,垂足为,连接 ,,证明：直线与直线关于轴对称. 【分析】（1）由抛物线的定义可得,为等边三角形,结合条件可求出,设直线交轴于点,则在中,可求出,即得出抛物线方程；（2）要证明直线与直线关于轴对称,只需证明两条直线的斜率之和为0即可,通过导数的几何意义,可求出直线与直线的方程,进而可求出直线的方程,和抛物线方程联立方程,结合根与系数的关系可得点的横坐标的关系,进而得出直线与直线斜率的表达式,即可算出这两条直线的斜率之和为0,即可得证. 【解析】（1）,为等边三角形,, 又, 设直线交轴于点,则在中,,的方程为 （2）设点,,,又的方程为可化为, 所以过点且与相切的直线的斜率为,过点且与相切的直线的斜率为,所以直线的方程为,直线的方程为. 又直线与均过点,,, 又,,,, 所以直线的方程为, 联立方程和得方程组 消去得, ,,, , 又, 则直线的斜率；直线的斜率,, , , 所以直线与直线关于轴对称. (三) 抛物线中与切线有关的性质 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线, 则(1)切线交点在准线上 (2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴 (3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直 (4) 切线交点与焦点连线与焦点弦垂直 (5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 反之： (1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦 (2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径． 【例3】已知抛物线的焦点F到其准线的距离为1. （1）求抛物线C的方程； （2）过F的直线与抛物线C相交于A,B两点,在A,B处分别作C的切线,交点为P. （i）证明：； （ii）若直线FP交C于M,N两点(M在线段FP上),求四边形面积的最小值. 【分析】（1）由抛 ... ...