【数学总复习-对点练习】RJA 第三章 第3讲　第2课时　不等式恒(能)成立问题

中小学教育资源及组卷应用平台 第三章 第3讲　第2课时　不等式恒(能)成立问题 1．已知f(x)＝ex－ax2，若f(x)≥x＋(1－x)ex在[0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 2．已知函数f(x)＝xln x(x>0)． (1)求函数f(x)的极值； (2)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤成立，求实数m的最小值． 3．(2022·石家庄质量检测)已知函数f(x)＝axex－(a＋1)·(2x－1)． (1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 4．已知函数f(x)＝＋ln x，g(x)＝x3＋x2－x. (1)若m＝3，求f(x)的极值； (2)若对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)，求实数m的取值范围． 参考答案 1解：由题意知，ex－ax2≥x＋ex－xex， 即ex－ax－1≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立． 令h(x)＝ex－ax－1(x≥0)， 则h′(x)＝ex－a(x≥0)， 当a≤1时，由x≥0知h′(x)≥0， 所以在[0，＋∞)上h(x)≥h(0)＝0， 原不等式恒成立． 当a>1时，令h′(x)>0，得x>ln a； 令h′(x)<0，得0≤x1不合题意． 综上可得，实数a的取值范围为(－∞，1]． 2解：(1)由f(x)＝xln x，得f′(x)＝1＋ln x， 令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得00)． 则g′(x)＝＋1－＝＝. 由g′(x)>0，得x>1；由g′(x)<0，得00， 则f(x)≥0对任意的x>0恒成立可转化为≥对任意的x>0恒成立． 设函数F(x)＝(x>0)， 则F′(x)＝－. 当00； 当x>1时，F′(x)<0， 所以函数F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以F(x)max＝F(1)＝. 于是≥， 解得a≥. 故实数a的取值范围是. 4解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当m＝3时，f(x)＝＋ln x. 因为f′(x)＝－＋＝，f′(3)＝0， 所以当x>3时，f′(x)>0，f(x)是增函数， 当00， 所以g(x)在上是单调递增函数，g(x)max＝g(2)＝10.　 对于任意的s，t∈， f(s)≥g(t)恒成立， 即对任意x∈，f(x)＝＋ln x≥1恒成立， 即m≥x－xln x恒成立． 令h(x)＝x－xln x， 则h′(x)＝1－ln x－1＝－ln x. 所以当x>1时，h′(x)<0， 当00， 所以h(x)在(0，1)上是增函数， 在(1，＋∞)上是减函数， 所以当x∈时，h(x)的最大值为h(1)＝1， 所以m≥1， 即实数m的取值范围是[1，＋∞)． 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...