【数学总复习-考点精讲】RJA 第四章 第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

中小学教育资源及组卷应用平台 第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 考向预测 核心素养 本讲是高考热点之一，主要考查：①作函数图象，包括五点法作图及图形变换作图；②由图象确定解析式；③三角函数图象变换；④图象的轴对称、中心对称；⑤三角函数的实际应用．中、低档难度. 直观想象、数学建模 一、知识梳理 1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 x － － － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 3．简谐运动的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 常用结论 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标． 二、教材衍化 1．(人A必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 2．(人A必修第一册P241习题5.6T5改编)将函数f(x)＝3sin的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝_____． 参考答案 1答案：B 2解析：g(x)＝f＝3sin＝3sin. 答案：3sin 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　) (2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　) (3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　) (4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．(　　) 二、易错纠偏 1．(图象平移与φ的关系不清致误)要得到y＝cos的图象，只需将y＝sin x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．(图象变换实质理解不清致误)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝_____． 3．(图象特征辨识易误)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，0＜φ＜π，则这段曲线的函数解析式为_____． 参考答案 一、思考辨析 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 二、易错纠偏 1解析：选C.y＝cos＝sin＝sin ，故要得到y＝cos的图象，只需将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度． 2解析：把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f＝sin＝sin ＝. 答案： 3解析：从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期， 所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20， 又×＝14－6，所以ω＝. 又×10＋φ＝kπ，k∈Z，0＜φ＜π， 所以φ＝， 所以y＝10sin＋20，x∈[6，14]． 答案：y＝10sin＋20，x∈[6，14] 考点一　五点法作图及图象变换(思维发散) 复习指导：能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象． 已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2. (1)求a的值及f(x)的最小正周期； (2)画出f(x)在[ ... ...