第1节 立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积 1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式. 3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图. 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两相互垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r′+r)l 4.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=S底·h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=S底·h 台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=h(S上+S下+) 球 S=4πR2 V=πR3 1.特殊的四棱柱 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 2.球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面. (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面. (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=. 3.正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为a,球的半径为R, (1)若球为正方体的外接球,则2R=a; (2)若球为正方体的内切球,则2R=a; (3)若球与正方体的各棱相切,则2R=a. 4.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=. 5.正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径r=a,其半径R∶r=3∶1(a为该正四面体的棱长). 6.直观图与原平面图形面积间关系S直观图=S原图形. 1.已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( B ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm 解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π, 所以r2=4,所以r=2(cm).故选B. 2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( A ) A.12π B.π C.8π D.4π 解析:由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线长2即为球的直径,所以球的表面积为4πR2=(2R)2π=12π.故选A. 3.(必修第二册P109例2改编)如图,直观图所表示的平面图形是( D ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 解析:由直观图中A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,还原后AC∥y轴, BC∥x轴,所以△ABC是直角三角形.故选D. 4.如图,长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′,剩下的几何体是( C ) A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 解析:由几何体的结构特征可知,剩下的几何体为五棱柱.故选C. 5.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体的体积比为 . 解析:设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为V1=××a×b×c=abc,剩下的几何体的体积为V2=abc- abc=abc,所以V1∶V2=1∶47. 答案:1∶47 第一课时 立体图形及其直观图、柱锥台的表面积与体积 空间几何体的结构特征、直观图 1.(多选题)下列说法正确的是( AD ) A.棱柱 ... ...
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