【专题讲义】人教A版必修1 专题13 导数的计算（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题13 导数的计算 【考点总结】 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．21教育网 (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′( 出卷网x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．21·世纪*教育网 (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝ 出卷网f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【常用结论】 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 3．函数y＝f(x)的导数f′( 出卷网x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．2·1·c·n·j·y 【易错总结】 (1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； (2)不会用方程法解导数求值． 例1．已知函数f(x)＝sin，则f′(x)＝_____． 解析：f′(x)＝[sin]′＝cos·′＝2cos. 答案：2cos 例2．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝_____． 解析：因为f(x)＝f′sin x＋cos x， 所以f′(x)＝f′cos x－sin x， 所以f′＝f′cos－sin， 即f′＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x， f′(x)＝－cos x－sin x. 故f′＝－cos－sin＝－. 【考点解析】 【考点】一、导数的计算 角度一　根据求导法则求函数的导数 例1、求下列函数的导数： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝sin； (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝； (5)y＝ln. 【解】　(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1) ＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x， 所以y′＝18x2－10x－4. (2)因为y＝sin＝－sin x， 所以y′＝′＝－(sin x)′＝－cos x. (3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln 3＋3xex－2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (4)y′＝＝ ＝. (5)y′＝′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′＝ [ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′＝·(2x－1)′－·(2x＋1)′＝－＝. 角度二　抽象函数的导数计算 例2、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝_____． 【解析】　因为f(x)＝x2＋3xf′( 出卷网2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.2-1-c-n-j-y 【答案】　－ 导数的计算技巧 (1)求导之前，应利用代数、三角恒 出卷网等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．21*cnjy*com (2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．　 【变式】1．已知f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝(　　) A．e2　　　　　　　 B．1 C．ln 2 D．e 解析：选B.因为f(x)＝x(2 019＋ln x) ... ...