中小学教育资源及组卷应用平台 第六讲 分段函数及映射 【学习目标】 1.理解分段函数的定义，并能解决简单的分段函数问题(重点). 2.了解映射的概念以及它与函数的联系与区别(难点)． 知识点1 分段函数 分段函数的定义： (1)前提：在函数的定义域内； (2)条件：在自变量x的不同取值范围内，有着不同的对应关系； (3)结论：这样的函数称为分段函数． 知识点2 映射 映射的定义： 题型一 映射的概念及应用 例1、(1)下列对应是集合A到集合B上的映射的是( ) A．A＝N*，B＝N*，f：x→|x－3| B．A＝N*，B＝{－1,1，－2}，f：x→(－1)x C．A＝Z，B＝Q，f：x→ D．A＝N*，B＝R，f：x→x的平方根 (2)已知映射f：A→B，在f的作用下，A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，求： ①A中元素(－1,2)在f作用下与之对应的B中的元素． ②在映射f作用下，B中元素(1,1)对应A中的元素． (1)解析 对于选项A，由于A中的 出卷网元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值在B中找不到象，所以不是映射；对于选项B，对任意的正整数x，在集合B中有唯一的1或－1与之对应，符合映射的定义；对于选项C,0在f下无意义，所以不是映射；对于选项D，正整数在实数集R中有两个平方根(互为相反数)与之对应，不满足映射的定义，故该对应不是映射．21世纪教育网版权所有 答案 B (2)解 ①由题意可知当x＝－1，y＝2时，3x－2y＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6， 4x＋3y－1＝4×(－1)＋3×2－1＝1，故A中元素(－1,2)在f的作用下与之对应的B中的元素是(－6,1)． ②设在映射f作用下，B中元素(1,1)对应A中的元素为(x，y)， 则解之得，即A中的元素为. 规律方法 1.判断一个对应是不是映射的两个关键 (1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应． (2)B中的对应元素是不是唯一的． 2．求对应元素的两种类型及处理思路(映射f：A→B) (1)若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应关系f求解即可． (2)若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个．21教育网 【训练1】 下列各个对应中，构成映射的是( ) 解析 对于A，集合M中元素2在集合N中无元素与之对应，对于C，D，均有M中的一个元素与集合N中的两个元素对应，不符合映射的定义，故选B．21cnjy.com 答案 B 题型二 分段函数求值问题 例2、已知函数f(x)＝求f(－5)，f(1)，f. 解 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝. 【迁移1】 (变换所求)例2条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值． 解 当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去； 当－2
2x，求x的取值范围． 解 当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2； 当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－22x可化为2x－1>2x，则x∈ . 综上可得，x的取值范围是{x|x<2}． 规律方法 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．由分段函数的函数值求自变量的方法 已知分段函数的函数值求对应 出卷网的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 【训练2】 函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝_____. 解 ... ... 
