中小学教育资源及组卷应用平台 第五讲 函数的表示法 【学习目标】 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点. 2.掌握求函数解析式的常见方法(重点、难点)． 知识点 函数的三种表示方法 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 题型一 作函数的图象 例1、作出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x∈Z)； (2)y＝x2－2x(x∈[0,3))． 解 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示． (2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示． 规律方法 作函数图象的步骤及注意点 (1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象．21教育网 (2)函数的图象可能是平滑的曲 出卷网线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点． 【训练1】 画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)． 解 (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)． (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．21·cn·jy·com 题型二 列表法表示函数 例2、已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为_____；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是_____． 解析 ∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1. f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示： x 1 2 3 f(g(x)) 1 3 1 g(f(x)) 3 1 3 ∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2. 答案 1 2 规律方法 列表法表示函数的相关问题的解法 解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．2·1·c·n·j·y 【训练2】 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 (1)f[g(1)]＝_____； (2)若g[f(x)]＝2，则x＝_____. 解析 (1)由表知g(1)＝3， ∴f[g(1)]＝f(3)＝1； (2)由表知g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，得f(x)＝2， 再由表知x＝1. 答案 (1)1 (2)1 题型三 求函数的解析式 方向1 待定系数法求函数解析式 例1、(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为_____． (2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为_____． 解析 (1)设f(x)＝ 出卷网kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，所以解得k＝4，b＝－5或k＝－4，b＝，21cnjy.com 所以f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋. (2)设f(x)＝ax2＋ 出卷网bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x.【来源：21·世纪·教育·网】 故得解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1. 答案 (1)f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋ (2)f(x)＝x2－x＋1 方向2 换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式 例2、(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)． 解 (1)法一 (换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二 (配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 因为＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，① ∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.② ∴由①②得3f(x)＝x2－6x， ∴f(x) ... ...
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