中小学教育资源及组卷应用平台 第三讲 同角三角函数的基本关系 【学习目标】 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 2.理解同角三角函数的基本关系式. 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明． 知识点 同角三角函数的基本关系式 思考1 计算下列式子的值： (1)sin230°＋cos230°； (2)sin245°＋cos245°； (3)sin290°＋cos290°. 由此你能得出什么结论？尝试证明它． 答案 3个式子的值均为1.由此可猜想： 对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝x. ∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1. 思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案 ∵tan α＝(x≠0)，∴tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z)． 梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1. ②商数关系：tan α＝ . (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin2α＋cos2α＝1的变形公式 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. ②tan α＝的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝. 类型一 利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值 例1 (1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为( ) A. B．－ C. D．－ 考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的商数关系 答案 D 解析 ∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝， ∴tan α＝＝－，故选D. (2)已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则tan α的值为( ) A．－ B．－ C. D. 考点 同角三角函数的基本关系式 题点 同角三角函数的商数关系 答案 B 解析 ∵sin α＋cos α＝， 等号两边同时平方得1＋2sin αcos α＝， 即sin αcos α＝－， ∴sin α，cos α是方程x2－x－＝0的两根， 又∵－<α<0， ∴sin α＝－，cos α＝， ∴tan α＝＝－. 反思与感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了 出卷网同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．21教育网 (2)已知三角函数值之间的关系式 出卷网求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口． 跟踪训练1 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 由tan α＝＝，得sin α＝cos α.① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 又α是第三象限角， ∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－. 命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 例2 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 ∵cos α＝－<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝＝＝， tan α＝＝＝－. (2)当α是第三象限角时，则 sin α＝－＝－，tan α＝. 反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时， 出卷网若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．21cnjy.com 跟踪训练2 已知cos α＝，求sin α，tan α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 ∵cos α＝>0且cos α≠1， ∴α是第 ... ...
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