【数学总复习-考点精讲】RJA 第七章 第1讲　第2课时　空间几何体的截面、球的切接问题

中小学教育资源及组卷应用平台 第2课时　空间几何体的截面、球的切接问题 考点一　空间几何体的截面问题(综合研析) 复习指导：利用立体几何的有关定理、事实确定截面的形状和数量关系． (1)已知圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则过圆锥顶点的截面面积的最大值等于(　　) A.　　　 B.　　　 C.3　　　 D.2 (2)(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_____． 【解析】　(1)由圆锥的母线长为2，侧面积为2π，假设底面圆周长为l，因此×2×l＝2π， 故底面圆周长为2 π，底面圆的半径为. 由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆的直径为2的等腰三角形，因此轴截面的顶角是.故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，此时S＝·2·2·sin＝2.故选D. (2)如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝ ＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝. 【答案】　(1)D　(2) 截面问题求解要点 (1)挖掘题目条件，要抓住截面的点是公共点这个关键． (2)灵活转化，将条件转化到一个平面内，寻找截面上的点满足的数量关系． |跟踪训练| 1．(2022·淮北市中学联考)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为(　　) A．2π B.π C.2 D.1 2．正方体ABCD A1B1C1D1，E，F分别是AA1，CC1的中点，P是CC1上的动点(包括端点)，过E，D，P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是(　　) A．线段C1F B.线段CF C．线段CF和一点C1 D.线段C1F和一点C 参考答案 1解析：选C.因为该正方形旋转一周所得圆柱的高为1，底面的半径为1，所以圆柱的轴截面的面积为1×2×1＝2，故选C. 2解析： 选C.如图所示，DE∥平面BB1C1C，所以平面DEP与平面BB1C1C的交线PM∥ED，连接EM， 易证MP＝ED， 因为MP∥ED，则M到达B1时仍可构成四边形，即P到F时，而P在C1F之间，不满足要求， P到点C1仍可构成四边形，故选C. 考点二　球的接、切问题(多维探究) 复习指导：空间几何体中的接、切问题主要是与球有关的接、切，求解的关键是找出球心所在的位置． 角度1　几何体的外接球 (1) (链接常用结论2)(2021·高考全国卷甲)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O ABC的体积为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. (2)(链接常用结论3)若直三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为_____． 【解析】　 (1)如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O ABC的体积V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝. (2)将直三棱柱补形为长方体ABEC A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC A1B1E1C1的外接球． 所以体对角线BC1的长为球O的直径． 因此2R＝＝13. 故S球＝4πR2＝169π. 【答案】　(1)A　(2)169π 角度2　几何体的内切球 (2020·高考全国卷Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_____． 【解析】　 易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin∠BPE＝＝＝，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2， 所以R＝，所以内切球的体积V＝πR3＝π，即该圆锥内半径最大的球的体积为π. 【答案】　π 处理球的“切”“接” ... ...